离散数学 |哈斯图

哈斯图是具有隐含向上方向的偏序集(poset)的元素关系的图形表示。为偏序集(poset)的每个元素绘制一个点，并根据以下规则与线段连接：

• 如果在偏序组中p ，则对应于 p 的点在图中出现的位置低于对应于 q 的点。
• 当 p 与 q 相关时，两点 p 和 q 将通过线段连接。

要绘制哈斯图，提供的集合必须是一个偏序集。
偏序集或偏序集 A 是一对，( B, $\leq$ ) 的集合 B 的元素称为 A 的顶点并遵守以下规则：

1. 自反性 → p $\leq$磷$\forall$磷$\in$乙
2. 反对称 → p $\leq$ q 和 q $\leq$ p 仅当 p=q
3. 传递性 → 如果 p $\leq$ q 和 q $\leq$ r然后p $\leq$ r

示例 1：为 ({3, 4, 12, 24, 48, 72}, /) 绘制哈斯图

解释——首先根据上面给出的问题，我们必须找到可分性的偏序集。
设集合为A。
A={(3 $\prec$ 12), (3 $\prec$ 24), (3 $\prec$ 48), (3 $\prec$ 72), (4) $\prec$ 12), (4 $\prec$ 24), (4 $\prec$ 48), (4 $\prec$ 72), (12) $\prec$ 24), (12 $\prec$ 48), (12) $\prec$ 72), (24) $\prec$ 48)、(24) $\prec$ 72)}
所以，现在哈斯图将是：

在上图中，3 和 4 处于同一级别，因为它们彼此不相关并且它们比集合中的其他元素小。 3 和 4 的下一个后续元素是 12，即 12 可以被 3 和 4 整除。然后 24 可以被 3、4 和 12 整除。因此，它被放置在 12 之上。24 可以同时整除 48 和 72，但 48 不能除以 72。因此 48 和 72 不相连。
随着级别的增加，我们可以在图表中看到传递性。

示例 2：为 (D $_{12}$ , /)

解释——这里，D $_{12}$表示一组 12 的正整数除数。
所以，D $_{12}$ ={1, 2, 3, 4, 6, 12}
偏序 A = {(1 $\prec$ 2), (1 $\prec$ 3), (1 $\prec$ 4), (1 $\prec$ 6), (1
$\prec$ 12), (2 $\prec$ 4), (2 $\prec$ 6), (2 $\prec$ 12), (3 $\prec$ 6), (3 $\prec$ 12), (4 $\prec$ 12), (6 $\prec$ 12)}
所以，现在哈斯图将是-

在上图中，1 是唯一一个划分所有其他元素且最小的元素。因此，它被放置在底部。那么我们集合中的元素是 2 和 3，它们不会相互分割，因此它们分别放置在同一级别但可以被 1 整除(两者都被 1 连接)。 4 可被 1 和 2 整除，而 6 可被 1、2 和 3 整除，因此，4 可被 2 连接，6 可被 2 和 3 连接。12 可被所有元素整除，因此，不能被 4 和 6 全部连接元素，因为我们已经相应地将 4 和 6 与较小的元素连接起来。

对于常规哈斯图：

• 最大元素是 POSET 的一个元素，它不小于 POSET 的任何其他元素。或者我们可以说它是一个与任何其他元素都没有关系的元素。哈斯图的主要元素。
• 示例 – 在上图中，我们可以说 4,2,3,6,1 与 12 相关(按除法排序，例如 (4,/) )但 12 与任何其他无关。 (因为哈斯图是向上的)。
• 最小元素是 POSET 的一个元素，它不大于 POSET 的任何其他元素。或者我们可以说没有其他元素与这个元素相关。哈斯图的底部元素。
• 示例 – 在上图中，我们可以说 1 与 2,3,4,6,12 相关(按除法排序，例如 (4,/) )但没有元素与 1 相关。(因为哈斯图是向上的)。
• 最大元素(如果存在)是所有其他元素之后的元素。
• 最少元素是在所有其他元素之前的元素。

注 – Hasse 图中的最大和最小元素只有一个。

在示例 1 中，
最大元素是 48 和 72，因为它们在所有元素之后。
最小元素是 3 和 4，因为它们在所有元素之前。
最大元素不存在，因为没有任何一个元素可以继承所有元素。
最少元素不存在，因为没有任何一个元素位于所有元素之前。

在示例 2 中，
最大和最大元素为 12，最小和最小元素为 1。

注意：一个元素既可以是最大的也可以是最小的

例子-

这里 a,b,c 是最大值和最小值。