📜  离散数学 |哈斯图

📅  最后修改于: 2021-09-22 10:52:50             🧑  作者: Mango

哈斯图是具有隐含向上方向的偏序集(poset)的元素关系的图形表示。为偏序集(poset)的每个元素绘制一个点,并根据以下规则与线段连接:

  • 如果在偏序组中p ,则对应于 p 的点在图中出现的位置低于对应于 q 的点。
  • 当 p 与 q 相关时,两点 p 和 q 将通过线段连接。

要绘制哈斯图,提供的集合必须是一个偏序集。
偏序集或偏序集 A 是一对,( B, \leq        ) 的集合 B 的元素称为 A 的顶点并遵守以下规则:

  1. 自反性 → p \leq        \forall        \in
  2. 反对称 → p \leq        q 和 q \leq        p 仅当 p=q
  3. 传递性 → 如果 p \leq        q 和 q \leq        r然后p \leq        r

示例 1:为 ({3, 4, 12, 24, 48, 72}, /) 绘制哈斯图

解释——首先根据上面给出的问题,我们必须找到可分性的偏序集。
设集合为A。
A={(3 \prec        12), (3 \prec        24), (3 \prec        48), (3 \prec        72), (4) \prec        12), (4 \prec        24), (4 \prec        48), (4 \prec        72), (12) \prec        24), (12 \prec        48), (12) \prec        72), (24) \prec        48)、(24) \prec        72)}
所以,现在哈斯图将是:

示例 1

在上图中,3 和 4 处于同一级别,因为它们彼此不相关并且它们比集合中的其他元素小。 3 和 4 的下一个后续元素是 12,即 12 可被 3 和 4 整除。然后 24 可被 3、4 和 12 整除。因此,它位于 12 之上。24 可同时整除 48 和 72,但 48 不能除以 72。因此 48 和 72 不相连。
随着级别的增加,我们可以在图表中看到传递性。

示例 2:为 (D _{12}        , /)

解释——这里,D _{12}        表示一组 12 的正整数除数。
所以,D _{12}        ={1, 2, 3, 4, 6, 12}
偏序 A = {(1 \prec        2), (1 \prec        3), (1 \prec        4), (1 \prec        6), (1
\prec        12), (2 \prec        4), (2 \prec        6), (2 \prec        12), (3 \prec        6), (3 \prec        12), (4 \prec        12), (6 \prec        12)}
所以,现在哈斯图将是-

例子2

在上图中,1 是唯一一个划分所有其他元素且最小的元素。因此,它被放置在底部。那么我们集合中的元素是 2 和 3,它们不会相互分割,因此它们分别放置在同一级别但可以被 1 整除(两者都被 1 连接)。 4 可以被 1 和 2 整除,而 6 可以被 1、2 和 3 整除,因此,4 被 2 连接,6 被 2 和 3 连接。12 可以被所有元素整除,因此,被 4 和 6 连接不是所有元素元素,因为我们已经相应地将 4 和 6 与较小的元素连接起来。

对于常规哈斯图:

  • 最大元素是 POSET 的一个元素,它不小于 POSET 的任何其他元素。或者我们可以说它是一个与任何其他元素都没有关系的元素。哈斯图的主要元素。
  • 示例 – 在上图中,我们可以说 4,2,3,6,1 与 12 相关(按除法排序,例如 (4,/) )但 12 与任何其他无关。 (因为哈斯图是向上的)。
  • 最小元素是 POSET 的一个元素,它不大于 POSET 的任何其他元素。或者我们可以说没有其他元素与这个元素相关。哈斯图的底部元素。
  • 示例 – 在上图中,我们可以说 1 与 2,3,4,6,12 相关(按除法排序,例如 (4,/) )但没有元素与 1 相关。(因为哈斯图是向上的)。
  • 最大元素(如果存在)是所有其他元素之后的元素。
  • 最少元素是在所有其他元素之前的元素。

注 – Hasse 图中的最大和最小元素只有一个。

在示例 1 中,
最大元素是 48 和 72,因为它们在所有元素之后。
最小元素是 3 和 4,因为它们在所有元素之前。
最大元素不存在,因为没有任何一个元素可以继承所有元素。
最少元素不存在,因为没有任何一个元素位于所有元素之前。

在示例 2 中,
最大和最大元素为 12,最小和最小元素为 1。

注意:一个元素既可以是最大的也可以是最小的

例子-

这里 a,b,c 是最大值和最小值。