计算机图形学3D逆变换

在计算机图形学中，3D逆变换是一项重要的技术，它可以用来将一个三维对象的位置、旋转和放缩信息从世界坐标系变换到物体坐标系。这样可以方便地对物体进行变换和操作。

常用的3D逆变换

在计算机图形学中，常用的3D逆变换包括平移、旋转和缩放。下面分别介绍这三种常用的逆变换方法。

平移

平移是将物体沿一个或多个轴向某个方向移动一定的距离，可以通过以下的逆变换矩阵进行实现：

| 1 0 0 -Tx |
| 0 1 0 -Ty |
| 0 0 1 -Tz |
| 0 0 0 1   |

其中 (Tx, Ty, Tz) 是物体需要移动的距离。这个矩阵可以通过先将平移向量乘以-1，再进行转置得到。

旋转

旋转可以将物体绕一个或多个轴旋转一定的角度，可以通过以下的逆变换矩阵进行实现：

| R11 R21 R31 0 |
| R12 R22 R32 0 |
| R13 R23 R33 0 |
|  0   0   0  1 |

其中 (R11, R12, R13)、(R21, R22, R23) 和 (R31, R32, R33) 是旋转矩阵的三列。这个矩阵可以通过旋转矩阵的转置得到。

缩放

缩放可以将物体在一个或多个方向上进行放缩，可以通过以下的逆变换矩阵进行实现：

| 1/Sx    0    0    0 |
|   0   1/Sy   0    0 |
|   0     0   1/Sz  0 |
|   0     0    0    1 |

其中 Sx、Sy 和 Sz 是物体需要进行缩放的比例。这个矩阵可以通过先将缩放比例的分母取倒数，再进行转置得到。

使用示例

下面给出一个使用示例，假设物体初始位置为 (x, y, z)，需要进行顺序变换平移 (-10, 0, 0)、旋转绕 y 轴旋转 30° 和缩放 (2, 2, 2)，可以按以下步骤进行变换：

1. 先进行缩放变换，将变换矩阵 M_scale 应用在初始位置上，得到新的位置 (x', y', z')。

   M_scale = | 1/2   0    0   0 |
             |  0   1/2   0   0 |
             |  0    0   1/2  0 |
             |  0    0    0   1 |
             
   [x' y' z' 1]' = M_scale * [x y z 1]'
   

2. 接着进行旋转变换，将变换矩阵 M_rotate 应用在变换后的位置上，得到新的位置 (x'', y'', z'')。

   M_rotate = |  cos(30)  0  sin(30)  0 |
              |     0     1     0     0 |
              | -sin(30)  0  cos(30)  0 |
              |     0     0     0     1 |
              
   [x'' y'' z'' 1]' = M_rotate * [x' y' z' 1]'
   

3. 最后进行平移变换，将变换矩阵 M_translate 应用在旋转后的位置上，得到最终位置 (x_final, y_final, z_final)。

   M_translate = | 1   0   0  -10 |
                 | 0   1   0   0  |
                 | 0   0   1   0  |
                 | 0   0   0   1  |
              
   [x_final y_final z_final 1]' = M_translate * [x'' y'' z'' 1]'
   

总结

通过学习本文中介绍的3D逆变换方法，程序员可以掌握如何将物体从世界坐标系变换到物体坐标系，并在此基础上实现复杂的图形变换和操作。