计算机图形学– 3D剪切转换

剪切变换与我们在2D空间中看到的相同，但是这里我们必须处理x，y和z轴，而在2D中我们仅处理x和y轴。剪切是在3D空间中沿x，y或z方向倾斜对象的过程。剪切会改变(或变形)对象的形状。当我们讨论3D空间时，也可以在以下三个方向中的任何一个上进行剪切。下面给出的是剪切变换的类型。

• 在X方向上剪切。
• y方向的剪切
• 在z方向上剪切。

X方向的剪切：此处的X坐标保持不变，而Y和Z的坐标发生变化。剪切是通过剪切转换矩阵完成的，其表示如下。

$\hspace{6.08cm} \mathbf{S_x=\left [\begin{matrix}1&s_y&s_z&0\\0&1&0&0 \\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right] }$

考虑3D空间中的点P [x，y，z]，在该点上我们在X方向上执行剪切变换，并变为P'[x，y，z]。

$\mathbf{P'[x\hspace{0.2cm}y \hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]= P[x_o\hspace{0.2cm}y_o\hspace{0.2cm}z_o\hspace {0.2cm}1].S_x}\\ \newline \hspace {6.08cm}\mathbf{P'[x, \hspace{0.2cm}y, \hspace{0.2cm}z]=[x_o, \hspace{0.2cm}y_n, \hspace{0.2cm}z_n]} \\$

$\textbf{The coordinate}\, \, \mathbf{P'[x_n, y_n, z_n]}\, \, \textbf{can also be calculated using below equations:} \newline \hspace{6.8cm}\mathbf{x_n = x_o \hspace{0.4cm}Remains\hspace{0.2cm}unchanged} \\ \hspace{6.8cm}\mathbf{y_n=y_o+s_y.x_o} \\ \hspace{6.8cm}\mathbf{z_n=z_o+s_z.x_0}\\$

Y方向的剪切：此处的Y坐标保持不变，而X和Z的坐标发生变化。剪切是通过剪切转换矩阵完成的，其表示如下。

$\mathbf{S_y= \left [\begin{matrix}1&0&0&0\\s_x&1&s_z&0 \\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right] }$

考虑3D空间中的一个点P [x，y，z]，在该点上我们在Y方向上执行剪切变换，它变为P'[x，y，z]。

$\mathbf{P'[x\hspace{0.2cm}y \hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=P[x_o\hspace {0.2cm}y_o\hspace{0.2cm}z_o\hspace{0.2cm}1].S_y} \\ \newline \hspace{6.08cm}\mathbf{P'[x, \hspace{0.2cm}y, \hspace{0.2cm}z]=[x_n, \hspace{0.2cm}y_o, \hspace{0.2cm}z_n]} \\ \newline$

$\textbf{The coordinate}\, \, \mathbf{P'[x_n, y_n, z_n]}\, \, \textbf{can also be calculated using below equations:} \newline \hspace{6.8cm}\mathbf{x_n = x_o+s_x.y_o } \\ \hspace{6.8cm}\mathbf{y_n=y_o \hspace{0.4cm}Remains \hspace{0.2cm}unchanged}\\ \hspace{6.8cm} \mathbf{z_n=z_o+s_z.y_o }\\$

Z方向的剪切：此处的Z坐标保持不变，而X和Y的坐标发生变化。剪切是通过剪切转换矩阵完成的，对于Z方向的剪切，其表示如下。

$\mathbf{S_z =\left [\begin{matrix}1&0&0&0 \\0&1&0&0\\s_x&s_y&1&0 \\0&0&0&1\end{matrix}\right] }$

考虑3D空间中的一个点P [x，y，z]，在该点上我们在Z方向上执行剪切变换，并变成P'[x，y，z]。

$\mathbf{P'[x\hspace{0.2cm} y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=P[x_o \hspace{0.2cm}y_o\hspace{0.2cm}z_o\hspace {0.2cm}1].S_z}\\ \newline \hspace{6.08cm} \mathbf{P'[x, \hspace{0.2cm}y, \hspace{0.2cm}z]=[x_n, \hspace{0.2cm}y_n, \hspace{0.2cm}z_o]}\\$

$\textbf{The coordinate}\, \, \mathbf{P'[x_n, y_n, z_n]}\, \, \textbf{can also be calculated using below equations:} \newline \hspace{6.8cm}\mathbf{x_n = x_o+s_x.z_o } \\ \hspace{6.8cm}\mathbf{y_n=y_o+s_y.z_o} \\ \hspace{6.8cm}\mathbf{z_n=z_o \hspace{0.4cm}Remains \hspace{0.2cm}unchanged}\\$

注意：此处，x _n ，y _n ，z _n显示=新值，x _o ，y _o ，z _o显示=旧值。

_{如果剪切参数如下S x} = 2，S _y = 3，则在给定的长方体(OABCDEFG)上沿Z方向执行剪切变换。

z方向的剪切变形矩阵如下。

$\mathbf{S_z=\left [\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\s_x&s_y&1&0 \\0&0&0&1\end{matrix}\right]}$

给定的长方体如下：

图。1

现在，我们将剪切转换条件应用于所有坐标，并计算新的对应坐标：

执行反射变换后，点O [0，0，0]变为O’：

$\mathbf {O'[x\hspace{0.2cm}y\hspace {0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]= [0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0 \hspace{0.2cm}1]\left [\begin{matrix}1&0&0&0 \\0&1&0&0\\2&3&1&0\\0&0&0&1 \end{matrix}\right]} \\ \newline \hspace{7.09cm}\mathbf{= [\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace {0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]}\\ \newline \hspace{4.37cm}\mathbf {O'[x\hspace{0.2cm}y\hspace {0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]= [\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0 \hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]}$

执行反射变换后，点A'[0，0，4]变为A’：

$\mathbf{A'[x \hspace {0.2cm}y\hspace{0.2cm}z \hspace{0.2cm}1] = [0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}4 \hspace {0.2cm}1]\left [\begin{matrix} 1&0&0&0 \\0&1&0&0\\2&3&1&0\\0&0&0&1\end {matrix}\right]} \\ \newline \hspace {7.09cm}\mathbf{= [8\hspace{0.2cm}12\hspace {0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]} \\ \newline \hspace {4.37cm}\mathbf{A'[x\hspace{0.2cm}, y\hspace{0.2cm}, z]= [8\hspace{0.2cm}12 \hspace{0.2cm}4]}$

执行反射变换后，点B'[0，0，4]变为B’：

$\mathbf{B' [x\hspace{0.2cm}y\hspace {0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]= [0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1] \left [\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0 \\2&3&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]} \\ \newline \hspace{7.09cm}\mathbf{= [8\hspace{0.2cm}10\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]} \\ \newline \hspace{4.37cm}\mathbf{B'[x\hspace{0.2cm}, y\hspace{0.2cm}, z]=[8\hspace{0.2cm}10\hspace{0.2cm}2]}$

执行反射变换后，点C'[2，4，0]变为C’：

$\mathbf{C'[x\hspace{0.2cm}y \hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]= [2\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}0 \hspace{0.2cm}1]\left [\begin{matrix}1&0&0&0 \\0&1&0&0\\2&3&1&0 \\0&0&0&1\end{matrix}\right]} \\ \newline \hspace {7.09cm}\mathbf{= [2\hspace{0.2cm}4\hspace {0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]}\\ \newline \mathbf{C'[x\hspace{0.2cm}, y\hspace{0.2cm}, z]= [2\hspace{0.2cm}4\hspace {0.2cm}0]}$

执行反射变换后，点D'[2，2，4]变为D’：

$\mathbf{D'[x\hspace{0.2cm}y \hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]= [2\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}4\hspace {0.2cm}1]\left [\begin{matrix}1&0&0&0 \\0&1&0&0\\2&3&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right] } \\ \newline \hspace{7.09cm}\mathbf{= [10\hspace{0.2cm}14\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1] }\\ \newline \hspace{4.37cm}\mathbf{D'[x\hspace{0.2cm} , y\hspace{0.2cm}, z]=[10\hspace{0.2cm}14 \hspace{0.2cm}4]}$

执行反射变换后，点E'[2，0，0]变为E’：

$\mathbf{E' [x\hspace{0.2cm}y\hspace {0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]= [2\hspace{0.2cm}0\hspace {0.2cm}0\hspace{0.2cm}1] \left [\begin{matrix}1&0&0&0 \\0&1&0&0\\2&3&1&0 \\0&0&0&1\end{matrix}\right]} \\ \newline \hspace{7.09cm}\mathbf{= [2\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]} \\ \newline \hspace{4.37cm}\mathbf{E'[x\hspace{0.2cm}, y\hspace{0.2cm}, z]=[2\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0]}$

执行反射变换后，点F'[0，0，2]变为F’：

$\mathbf {F'[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z \hspace{0.2cm}1]=[0\hspace{0.2cm}0\hspace {0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]\left [\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\2&3&1&0 \\0&0&0&1\end{matrix}\right]} \\ \newline \hspace{7.09cm}\mathbf{= [4\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]} \\ \newline \hspace{4.37cm}\mathbf{F'[x\hspace{0.2cm}, y\hspace{0.2cm}, z]=[4\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}2]}$

执行反射变换后，点G'[2，0，2]变为G’：

$\mathbf{G'[x\hspace{0.2cm}y \hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=[2\hspace{0.2cm}0 \hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]\left [\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\2&3&1&0 \\0&0&0&1\end{matrix}\right]} \\ \newline \hspace{7.09cm}\mathbf{= [6\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]} \\ \newline \hspace{4.37cm}\mathbf {G'[x\hspace{0.2cm}, y\hspace{0.2cm}, z]= [6\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}2]}$

最后，在对给定的长方体执行剪切变形后，图1将如下所示：

图2