任意轴上的计算机图形学 3D 旋转

简介

在计算机图形学中，3D 旋转是指将一个物体绕特定轴旋转一定角度的操作。除了沿着坐标轴旋转外，我们还可以围绕任意轴进行旋转。这种旋转可以实现更复杂的效果，并且在许多场景下是必要的。

旋转矩阵

对于任意轴的旋转，我们可以使用一个旋转矩阵来描述旋转的变换。假设我们需要绕一个单位向量 (x, y, z) 上旋转角度为 θ，则对于一个点P(x', y', z')，旋转后的点可由以下公式计算得出：

x' = (cosθ + (1 - cosθ)x^2)P_x + ((1 - cosθ)xy - sinθz)P_y + ((1 - cosθ)xz + sinθy)P_z
y' = ((1 - cosθ)xy + sinθz)P_x + (cosθ + (1 - cosθ)y^2)P_y + ((1 - cosθ)yz - sinθx)P_z
z' = ((1 - cosθ)xz - sinθy)P_x + ((1 - cosθ)yz + sinθx)P_y + (cosθ + (1 - cosθ)z^2)P_z

其中，P(x, y, z) 是原始点的坐标，(x', y', z') 是旋转后点的坐标。

实现旋转

对于实现任意轴的旋转，我们可以使用数学库或计算机图形学库来简化实现过程。以下是一个使用 Python 和 numpy 库实现的示例代码：

import numpy as np

# 定义任意轴上的旋转函数
def rotate_3d(point, axis, theta):
    x, y, z = point
    u, v, w = axis / np.linalg.norm(axis)
    costheta = np.cos(theta)
    sintheta = np.sin(theta)
    rot_matrix = np.array([[costheta + (1 - costheta) * u**2,
                            (1 - costheta) * u * v - sintheta * w,
                            (1 - costheta) * u * w + sintheta * v],
                          [(1 - costheta) * u * v + sintheta * w,
                            costheta + (1 - costheta) * v**2,
                            (1 - costheta) * v * w - sintheta * u],
                          [(1 - costheta) * u * w - sintheta * v,
                            (1 - costheta) * v * w + sintheta * u,
                            costheta + (1 - costheta) * w**2]])
    rotated_point = np.dot(rot_matrix, np.array([x, y, z]))
    return rotated_point

# 测试旋转函数
point = np.array([1, 3, 2])  # 原始点坐标
axis = np.array([1, 1, 1])  # 旋转轴坐标
theta = np.pi / 2  # 旋转角度（弧度）
rotated_point = rotate_3d(point, axis, theta)
print(rotated_point)

在上述示例代码中，我们定义了一个名为 rotate_3d 的函数来执行任意轴的旋转。我们传递点的坐标、旋转轴的坐标和旋转角度作为参数，并使用给定的公式和 numpy.dot() 函数来计算旋转后的点的坐标。最后，我们对函数进行了测试并打印旋转后的点坐标。

结论

使用旋转矩阵和相关的数学知识，我们可以实现计算机图形学中关于任意轴的 3D 旋转。这种旋转可以为我们提供更多的设计和实现的可能性，并在许多应用中发挥重要作用。在实际应用中，请确保正确理解旋转矩阵和旋转角度的概念，并使用适当的图形库或工具来简化相关的计算。