门| GATE CS 2019 | 简体中文问题5

本题是GATE CS 2019考试中的一道问题，要求考生根据指定的需求完成一个简单的程序模拟。

问题描述

前置知识要求：对于一个字典中的所有单词，如果两个单词可以通过一次“变换”互相转换，则这两个单词在图上相邻。变换的定义是：在单词中任意交换两个字母，其他字母的顺序不变。

要求：请编写一个程序，读入一个文件（文件名由用户输入），文件的每一行是一个单词，单词的长度不超过10个字符。程序使用前置知识，将这些单词放入一个图中，并判断给定的两个单词是否在图上是相邻的（可以通过一次变换互相转换的）。

解题思路

本题需要实现以下步骤：

1. 将所有单词分别进行两两比较，如果它们可以通过一次变换互相转换，则在它们之间连边，构成一个无向图；
2. 判断给定的两个单词是否在这个无向图上相邻。

数据结构

由于需要存储边的邻接关系，本题可以使用邻接矩阵或邻接表来存储图。

邻接矩阵的空间复杂度为$O(V^2)$，其中$V$为图中顶点的个数。在本题中，最多有$10^5$个单词，因此邻接矩阵的空间复杂度可能会超出程序运行的限制。

因此，我们可以使用邻接表来存储图。邻接表的空间复杂度为$O(V+E)$，其中$E$为边的数量。在本题中，最多有$10^5$个单词，每个单词最多有$10$个字符，因此边的最大数量为$10^6$。因此，邻接表的空间复杂度为$O(10^5+10^6)=O(10^6)$，可以满足程序的空间要求。

对于每个单词，我们可以将它存储为一个字符串，并且构建一个哈希表，将每个单词映射到一个整数上。这样，在存储边的时候，我们可以只存储整数的编号，而不必存储字符串本身，可以大大减小程序的空间开销。

图的构建

首先，我们需要使用一个函数check来判断两个单词是否能够通过一次变换互相转换。考虑使用哈希表对每个单词进行预处理，将其表示成一个字符频率数组。如果两个单词的字符频率数组相同，则它们可以通过一次变换互相转换。时间复杂度为$O(1)$。

def check(word1, word2):
    if len(word1) != len(word2):
        return False
    freq1 = [0] * 26
    freq2 = [0] * 26
    for ch in word1:
        freq1[ord(ch) - ord('a')] += 1
    for ch in word2:
        freq2[ord(ch) - ord('a')] += 1
    return freq1 == freq2

然后，我们可以依次读入文件中的每个单词，并逐一比较它们之间的邻接关系。使用一个哈希表来存储每个单词的编号，可以将时间复杂度优化到$O(1)$。时间复杂度为$O(N^2L)$，其中$N$为单词的数量，$L$为单词的长度。

# read the words
words = []
word_id = {}
with open(filename, 'r') as f:
    for line in f:
        word = line.strip()
        word_id[word] = len(words)
        words.append(word)

# build the graph
graph = [[] for _ in range(len(words))]
for i in range(len(words)):
    for j in range(i + 1, len(words)):
        if check(words[i], words[j]):
            graph[i].append(j)
            graph[j].append(i)

图的遍历

对于给定的两个单词，我们需要判断它们在图上是否相邻。我们可以使用广度优先搜索算法遍历整个图，并在遍历的过程中查找给定的两个单词是否相邻。时间复杂度为$O(N+E)$，其中$E$为边的数量。

from collections import deque

# BFS traversal of the graph
def bfs(start, target):
    visited = [False] * len(words)
    queue = deque()
    queue.append(start)
    visited[start] = True
    while queue:
        node = queue.popleft()
        if node == target:
            return True
        for neighbor in graph[node]:
            if not visited[neighbor]:
                queue.append(neighbor)
                visited[neighbor] = True
    return False

# check if two words are adjacent in the graph
def are_adjacent(word1, word2):
    if word1 not in word_id or word2 not in word_id:
        return False
    start = word_id[word1]
    target = word_id[word2]
    return bfs(start, target)

总结

本题需要考生熟练掌握基本的图论算法，包括邻接表的存储方式、广度优先搜索算法的基本思想等。此外，需要掌握一些基本的数据结构和算法，包括哈希表的使用、字符串的处理等。

如果需要进一步提高程序的效率和空间利用率，可以优化哈希表的存储方式，采用更加高效的哈希函数和冲突解决策略；还可以使用双向BFS算法在遍历图时降低时间复杂度。