门| GATE CS 2019 |简体中文问题12

本题要求求解将一个有向无环图的顶点顺序排列，使得每条边的起点都在排列中位于终点的前面。这个问题被称为“拓扑排序”。

可行性分析

该问题需要求解一个有向无环图的拓扑排序，即给定一张图，找到其中所有结点的一种线性排序，使得对于所有的有向边 (u, v)，源结点 u 的排序位置在目标结点 v 的排序位置之前。如果图中有环（即存在一条从某个结点出发，经过若干个结点回到该结点的路径），那么该问题无解。

因此，拓扑排序问题的第一步是检测图中是否存在环。一般使用深度优先搜索（DFS）来实现这个检测。如果检测到存在环，就返回“无解”。

如果环被排除，我们需要考虑如何寻找顶点排序。一般使用一种叫做“Kahn's Algorithm”（卡恩算法）的算法实现。这个算法思路很简单：

1. 找到所有入度为 0 的结点，将其放入队列中；
2. 从队列中取出一个结点，输出该结点；
3. 删除以该结点为起点的所有边，并更新该边的终点结点的入度。如果删除后该终点结点的入度为 0，则将其加入队列中；
4. 重复步骤 2 和步骤 3，直到队列为空。

这样得到的排序，就是一种可行的拓扑排序。如果某个时刻队列为空但仍有结点没有被遍历到，那么这些结点一定属于某个环，也就是说它们之间存在相互依赖的关系，所以无法找到一个合法的拓扑排序。

代码实现

def topological_sort(graph):
    # 计算每个结点的入度
    in_degree = {v: 0 for v in graph}
    for v in graph:
        for w in graph[v]:
            in_degree[w] += 1

    # 放入入度为 0 的结点
    queue = [v for v in graph if in_degree[v] == 0]

    # 进行拓扑排序
    topo_order = []
    while queue:
        v = queue.pop(0)
        topo_order.append(v)

        for w in graph[v]:
            in_degree[w] -= 1
            if in_degree[w] == 0:
                queue.append(w)

    # 检查是否有环
    if len(topo_order) == len(graph):
        return topo_order
    else:
        raise ValueError("The graph contains a cycle.")

复杂度分析

拓扑排序问题的时间复杂度为 O(|V| + |E|)，其中 |V| 是顶点数，|E| 是边数。算法实现时，需要先计算每个结点的入度，需要遍历所有的边；然后需要把每个入度为 0 的结点都放入队列中，需要遍历图中的所有结点。在进行拓扑排序时，每个结点都会被检查一次，每条边都会被遍历一次。因此总时间复杂度为 O(|V| + |E|)。