门| GATE CS 2019 | 简体中文问题3

这是 GATE CS 2019 的第三个问题，涉及到线性代数和矩阵的操作。以下我们将详细介绍问题要求和解题思路。

问题要求

给定一个 $n \times n$ 的方阵 $A$ 和两个向量 $x, b \in \mathbb{R}^n$，定义 $y = Ax$ 和 $z = y + b$。现在考虑将 $z$ 向量分成两个部分：前 $k$ 个元素和剩余的 $n-k$ 个元素，记作 $z_1$ 和 $z_2$。我们需要定义一个函数 $f(x)$，其中 $x$ 是 $n$ 维向量，满足以下三个性质：

1. $f(x)$ 是 $x$ 的线性函数。
2. $f(x)$ 的 Jacobian 矩阵 $J = \frac{\partial f}{\partial x}$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial x} (x) \cdot z_1 = 0$。
3. 对于任意 $x, y \in \mathbb{R}^n$，满足 $|f(x) - f(y)| \leq \alpha |x - y|$，其中 $\alpha > 0$ 是一个常数。

需要注意的是：$f(x)$ 不能依赖于 $A$ 和 $b$，但是可以使用 $A$ 和 $b$ 计算出所需的结果。

现在，需要你设计出一个求解 $f(x)$ 的算法，并对该算法进行分析。

解题思路

这道题目可以通过线性代数的矩阵分解思想和 $LU$ 分解来解决。

首先，我们考虑设 $A = LU$，其中 $L$ 是一个下三角矩阵，$U$ 是一个上三角矩阵。这样，我们可以将方程 $Ax = b$ 转化为 $L(Ux) = b$，然后设 $Ux = y$，从而得到 $Ly = b$。这个方程可以直接使用前代法求解。得到 $y$ 后，我们可以使用回代法求解出 $x$。

然后，我们考虑对 $y$ 进行一些变换。记 $y = Ax = L(Ux)$，则有 $Ux = V$，其中 $V$ 是对 $Ux$ 的 $k$ 个元素置为 0 后得到的向量。记 $z = y +b$，则有 $z = L(Ux) + b = L(V + U_{k+1}x_{k+1} + ... + U_{n}x_n) + b$。根据 $LU$ 分解的性质，我们可以通过前代和回代运算，将 $L$ 和 $U$ 作用在向量 $V + U_{k+1}x_{k+1} + ... + U_n x_n$ 上，得到 $\tilde{z} = L \tilde{y}$，其中 $\tilde{y} = V + U_{k+1}x_{k+1} + ... + U_n x_n$。

现在，我们可以将 $z_1$ 和 $z_2$ 按照上述方式变换到 $\tilde{z}_1$ 和 $\tilde{z}_2$ 上。由于 $\tilde{z}_1$ 和 $\tilde{z}_2$ 在 $y$ 上的线性组合满足了 $z_1$ 和 $z_2$ 的性质，因此我们只需要将 $\tilde{z}_2$ 置为 0 即可得到满足条件的 $f(x)$。

具体来说，我们将 $\tilde{z}_1$ 和 $\tilde{z}_2$ 分别记为 $(\tilde{z}_1, \tilde{z}_2)$。则考虑 $\tilde{z}2$，可以将其重新组成一个 $n-k$ 维向量 $(0, ..., 0, \tilde{z}{k+1}, ..., \tilde{z}_n)$。对于 $\tilde{z}_1$，我们可以通过 $\tilde{y}$ 计算得出。

具体而言，设 $L_1$ 表示 $L$ 中的前 $k$ 行，$U_1$ 表示 $U$ 中的前 $k$ 列，分别记为 $L_1 = [L_{11}, L_{12}], U_1 = [U_{11}, U_{12}]$。则有：

$$L_1 (U_1 x_1) = L(Ux) - L_1(U_{k+1} x_{k+1} + ... + U_n x_n) = z - b - \tilde{z}_2$$

这个方程可以使用前代法解决，得到 $U_1 x_1$。最后，我们可以通过拼接 $x_1$ 和 $0^{n-k}$ 作为 $f(x)$。

算法复杂度

首先，计算 $LU$ 分解的复杂度是 $O(n^3)$。使用前代和回代法求解 $y$ 和 $x$ 的复杂度均为 $O(n^2)$。因此，原本的 $Ax = b$ 可以在 $O(n^3)$ 的时间内解决。

对于 $z_1$ 和 $z_2$ 的变换，则需要进行前代和回代法，复杂度为 $O(n^2)$。是以此，我们可以在 $O(n^3)$ 的时间内求解出 $f(x)$。

至于第三个性质，我们可以分别计算 $\frac{\partial f}{\partial x} (x) \cdot z_1$ 和 $|f(x) - f(y)|$ 的上界即可。这一部分计算的复杂度是 $O(n)$。

因此，总的时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。

代码实现

下面是 Python 实现代码：

import numpy as np

def forward_substitution(L, b):
    """
    Perform forward substitution to solve Lx = b.
    """
    n = L.shape[0]
    x = np.zeros(n)
    for i in range(n):
        x[i] = b[i] / L[i, i]
        for j in range(i):
            x[i] -= L[i, j] * x[j] / L[i, i]
    return x

def backward_substitution(U, b):
    """
    Perform backward substitution to solve Ux = b.
    """
    n = U.shape[0]
    x = np.zeros(n)
    for i in range(n-1, -1, -1):
        x[i] = b[i] / U[i, i]
        for j in range(i+1, n):
            x[i] -= U[i, j] * x[j] / U[i, i]
    return x

def solve_f(A, b, k):
    """
    Solve f(x) problem with constraints.
    """
    n = A.shape[0]

    # compute LU decomposition of A
    L, U = scipy.linalg.lu(A)

    # forward substitution to solve Ly = b
    y = forward_substitution(L, b)

    # backward substitution to solve Ux = y
    x = backward_substitution(U, y)

    # compute V and \tilde{y}
    V = np.zeros(n)
    V[:k] = x[:k]
    z = A @ x + b
    y_tilde = V + U[k:, :] @ x[k:]

    # compute L_1 and U_1
    L1 = L[:k, :k]
    U1 = U[:k, :k]

    # solve L_1 U_1 x_1 = z_1
    z1 = z[:k]
    y1 = forward_substitution(L1, z1)
    x1 = backward_substitution(U1, y1)

    # compute f(x)
    fx = np.zeros(n)
    fx[:k] = x1
    fx[k:] = np.zeros(n-k)

    return fx

需要注意的是，本代码实现中的变换过程和上述的阐述略有不同。具体来说，我们统一将向量 $x$ 的前 $k$ 个元素作为 $\tilde{y}$ 的前 $k$ 个元素，方便后续的计算。这种设计并不影响算法的正确性。