门| GATE CS 1999 |第63章

概述

这篇文章主要介绍了 GATE CS 1999 年第 63 章试题的解答，包括题目具体描述、解题思路和代码实现等方面的内容。该题属于计算机科学领域，主要考察了程序员的算法和数据结构相关知识。通过本文的介绍，相信读者能够更深入地理解该题目的解题思路和实现方法，对于提高程序员的编码能力和解题水平都有一定的帮助。

题目描述

该题目的具体描述如下：

给定一个 $n \times n$ 的方阵 $A$，其中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $a_{ij}$ 表示从 $i$ 号顶点到 $j$ 号顶点的最短路长度。假设顶点编号从 $1$ 到 $n$。现在有 $m$ 次查询，每次查询包含两个整数 $u$ 和 $v$，表示询问从第 $u$ 号顶点到第 $v$ 号顶点的最短路长度是多少。请编写一个程序，输出所有查询的答案。

解题思路

针对该题目，我们可以采用 Floyd 算法来解决。Floyd 算法是一种经典的动态规划算法，可以求解任意两点之间的最短路径。

具体而言，Floyd 算法的核心思想是通过中间点来更新两点之间的最短路径长度。假设 $d_{ij}$ 表示从点 $i$ 到点 $j$ 的最短路径长度，则有以下递推式：

$$d_{ij}=\min{d_{ik}+d_{kj}}$$

其中，$1 \le i,j \le n$，$1 \le k \le n$。该递推式的含义是通过中间点 $k$ 来更新 $i$ 到 $j$ 的最短路径长度。

在实际操作中，我们可以采用三重循环完成 Floyd 算法的求解。具体而言，我们首先对初始化 $d_{ij}$，然后再使用三重循环遍历所有的点对 $(i,j)$，并利用中间点 $k$ 来更新 $d_{ij}$ 的值。最终，$d_{ij}$ 表示从点 $i$ 到点 $j$ 的最短路径长度。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现 Floyd 算法的代码：

n = int(input().strip())
a = []
for i in range(n):
    a.append(list(map(int, input().split())))
for k in range(n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            a[i][j] = min(a[i][j], a[i][k] + a[k][j])
m = int(input().strip())
for i in range(m):
    u, v = map(int, input().split())
    print(a[u-1][v-1])

其中，变量 n 表示方阵的大小，a 表示方阵，m 表示查询次数，变量 u 和 v 表示两个查询点。程序使用了三重循环完成了 Floyd 算法的求解，然后在查询时输出了对应最短路径的长度。