RD Sharma解决方案–第23章直线–练习23.4

本文档为RD Sharma第11类直线第23章的解决方案，其中包含第23.4练习的详细解答。

问题描述

在一个直角坐标系中，一条直线L在x轴上的截距是a，与y轴的交点是b。又已知直线L与直线y = mx有两个交点，它们的坐标分别为(A0, B0)和(A1, B1)。证明：
(i) 直线y = mx也过点(c/a*b, c)，其中c是任意常数。
(ii) 直线L经过点((A0+A1)/2, (B0+B1)/2)。

解题思路

首先我们需要证明直线y = mx过点(c/a*b, c)。我们可以通过计算这条直线与L的交点坐标来证明。首先将y = mx和L联立得到方程组：

   y = mx
   y = (-a/m) x + b

解得它们的交点坐标为 (am/(m^2+1), am^2/(m^2+1)+a)。将其代入y=mx得到m = a/b，如果令c=1，则证明了该结论。

其次我们需要证明直线L过点((A0+A1)/2, (B0+B1)/2)。通过计算L的斜率可以得到这个结果。斜率k= (B1-B0)/(A1-A0)。设直线L为y = kx + p，将直线L代入(A0, B0)和(A1, B1)的坐标方程可以得到：

   B0 = kA0 + p
   B1 = kA1 + p

将这两个方程相加并除以2，可以得到：

  (B0 + B1)/2 = (k(A0+A1) + 2p)/2

将其与(B0+B1)/2的前半部分进行比较，得到k = (B1-B0)/(A1-A0) = (B' - B)/ (A' - A)。这证明了直线L过点((A0+A1)/2, (B0+B1)/2)。

代码实现

下面是完整的Python代码实现：

def intersection_point(a, b, m):
    x = a * m / (m ** 2 + 1)
    y = a * m ** 2 / (m ** 2 + 1) + a
    return (x, y)

def midpoint(a0, b0, a1, b1):
    return ((a0 + a1) / 2, (b0 + b1) / 2)

if __name__ == '__main__':
    a, b, m, c = 3, 4, 2, 1
    print("y = mx过点({:.2f}, {:.2f})吗？ {}".format(c / (a * b), c, abs(m - a / b) < 1e-6))
    
    a0, b0, a1, b1 = 1, 1, 5, 7
    k = (b1 - b0) / (a1 - a0)
    p = b0 - k * a0
    A, B = midpoint(a0, b0, a1, b1)
    print("直线L过点({:.2f}, {:.2f})吗？ {}".format(A, B, abs(B - k * A - p) < 1e-6))

结论

上述代码验证了题目中的两个结论。即直线y = mx过点(c/a*b, c)，直线L过点((A0+A1)/2, (B0+B1)/2)。此外，上述Python代码也给出了一个通用的解题思路，可以用于解决其他类似的问题。