RD Sharma解决方案-第11类-第23章直线-练习23.14

本文是RD Sharma解决方案系列中第11类第23章直线练习23.14的介绍。 该练习涉及直线的斜率和截距以及点的坐标等基本概念，并要求解决一些关于直线的问题。

问题描述

给定直线 $L$ 的斜率和截距，以及一点 $P$ 的坐标。我们需要将直线 $L$ 平移 $d$ 的距离以得到 $L'$. 然后，我们需要找到直线 $L'$ 与点 $P$ 之间的距离，这就是该练习要求的答案。

解决方案

解决此练习的关键是计算出新直线的斜率和截距，以及确定新直线是否会剪切坐标轴（即，它是否仍然与 $x$ 轴或 $y$ 轴相交）。一旦计算出新直线的方程，我们就可以使用“点到直线的距离公式”来计算 $L'$ 与点 $P$ 之间的距离。

首先，我们需要使用给定的斜率和截距计算出原始直线 $L$ 的方程。这可以通过使用点斜式或截距式来完成。

接下来，我们需要将 $L$ 沿着与其垂直的方向平移 $d$ 的距离。如果 $L$ 的斜率为 $m$，则新直线 $L'$ 的斜率为 $-1/m$（因为它与 $L$ 垂直），并且它通过点 $(x+y, y-x/m+d)$，其中 $x$ 和 $y$ 是 $L$ 上的任意点。根据这个信息，我们可以计算出截距 $b'$：

$b' = y - (-1/m)x + d - (y-x/m)d/m$

现在，我们需要判断新直线 $L'$ 是否与坐标轴相交。如果它不与坐标轴相交，我们可以使用一般式来计算直线 $L'$ 的方程：

$y - (y_0 - d) =(-1/m)(x - x_0)$

其中 $(x_0, y_0)$ 是 $L$ 上的任意点。如果新直线 $L'$ 与 $x$ 轴或 $y$ 轴相交，我们需要先计算直线 $L$ 与 $x$ 轴和 $y$ 轴的交点，然后使用这些点来计算 $L'$ 的方程。

现在，我们可以使用点到直线的距离公式来计算 $L'$ 与点 $P$ 之间的距离。 该公式如下：

$dist(P,L') =|(m'x_P-y_P+b')/sqrt(1+m'^2)|$

其中 $m'$ 是 $L'$ 的斜率，$x_P$ 和 $y_P$ 是点 $P$ 的坐标。

代码实现

下面是基于上述解决方案的Python代码的代码片段：

def distance_from_point_to_line(m, b, d, point):
    """
    Calculate the distance from a point to a line that has slope m and intercept b,
    and has been shifted by distance d perpendicular to the line.
    """
    x, y = point
    m_perp = -1/m  # perpendicular slope
    x0, y0 = x - y*m, y # any point on the original line
    b_prime = y - (-1/m)*x + d - (y-x/m)*d/m # new intercept
    x_intersect = -b_prime/m_perp if m else x # x-intercept
    y_intersect = b_prime if m_perp == 0 else m_perp*x_intersect + b_prime # y-intercept
    # determine whether the line intersects the x-axis or the y-axis
    if abs(m_perp) < 1e-9:
        return abs(y - y_intersect)
    elif abs(m) < 1e-9:
        return abs(x - x_intersect)
    else:
        dist = abs(m_perp*x - y + b_prime)/math.sqrt(1 + m_perp**2) # distance from point to line
        return dist

此代码片段实现了上述解决方案并计算了点到直线的距离。实现代码时需注意特殊情况的处理，例如直线与坐标轴相交、除数为零、精度误差等。