RD Sharma解决方案-第11类-第23章直线-练习23.13

RD Sharma解决方案对于学习数学的学生来说是一个非常好的资源。这个项目针对RD Sharma数学书中第11类(直线)的第23章构建了解决方案。在本篇介绍中，我们将会介绍第23章的第13个练习题。

练习23.13

题目： 如果两条直线 $3x - 4y + 7 = 0$ 和 $2x + 3y - 5 = 0$ 分别垂直于两条直线 $ax + 2y - 3 = 0$ 和 $x - 2y + 7 = 0$，那么求出 $a$ 的值。

解决方案：

首先，让我们来理解“两条直线垂直”的概念。当两条直线的斜率之积为-1时，我们就可以说这两条直线互相垂直。所以我们需要先找到斜率。

第一条直线的斜率与法线

$3x - 4y + 7 = 0$ 可以写成 $4y = 3x + 7$，即 $y = \frac34 x + \frac74$。所以这条直线的斜率为 $\frac34$。现在，我们需要找到它的一条垂线，也就是法线。

这条垂线的斜率将是 $\frac{-1}{\frac34} = -\frac43$。现在，我们需要确定这条直线穿过 $ax + 2y - 3 = 0$，所以我们将直线方程和法线方程联合起来解方程。

$$\begin{cases} ax + 2y - 3 = 0 \ y = -\frac43 x + c \end{cases}$$

其中 $c$ 是垂线在 $y$ 轴截距。将二者相等，然后解出 $x$ 和 $y$。

$$ax + 2(-\frac43 x + c) - 3 = 0$$ $$(a - \frac83)x + 2c - 3 = 0$$ $$x = \frac{2c - 3}{(\frac83 - a)}$$

$$y = -\frac43 x + c$$ $$y = -\frac43 \cdot \frac{2c - 3}{(\frac83 - a)} + c$$

如果画出这条直线以及它的法线，我们可以得到以下结果：

这条线垂直于 $3x - 4y + 7 = 0$，也就是说，我们可以得到以下关系：

$$\frac34 \cdot \frac{-4}{3} = -1$$

这意味着第一条直线和它的法线互相垂直。

第二条直线的斜率和法线

这条直线的方程是 $2x + 3y - 5 = 0$，所以它的斜率将是 $-\frac23$。为了找到它的法线，我们现在可以使用同样的方法。

法线的斜率为 $\frac{-1}{-\frac23} = \frac32$。现在，我们需要确定这条直线穿过 $x - 2y + 7 = 0$。所以我们将直线方程和法线方程联合起来解方程：

$$\begin{cases} x - 2y + 7 = 0 \ y = \frac32 x + d \end{cases}$$

其中 $d$ 是垂线在 $y$ 轴截距。将二者相等，然后解出 $x$ 和 $y$。

$$x - 2(\frac32 x + d) + 7 = 0$$ $$(-\frac32)x - 2d + 7 = 0$$ $$x = \frac{4}{3}d - \frac73$$

$$y = \frac32 x + d$$ $$y = \frac32 \cdot(\frac43 d - \frac73) + d$$

如果画出这条直线以及它的法线，我们可以得到以下结果：

这条线垂直于 $2x + 3y - 5 = 0$，也就是说，我们可以得到以下关系：

$$(-\frac23)\cdot(\frac32) = -1$$

这意味着第二条直线和它的法线互相垂直。

求解a的值

现在我们已经知道，两条直线都垂直于它们的法线。因此，我们只需要找到这两条法线的斜率，然后将它们相乘。我们有：

$$-\frac43 \cdot \frac32 = -2$$

这意味着这两条直线互相垂直，而且解答为 $a = -2$。

总结

在这个介绍中，我们解决了RD Sharma数学书第11类(直线)的第23章中的一个问题，即练习题23.13。我们通过寻找每个直线的法线，在它们的交点确定它们是否垂直，并计算它们的斜率之积来解决这个问题。如果您想了解其他RD Sharma解决方案，请查看我们的其他文章。感谢您的阅读！