11类RD Sharma解决方案–第23章直线-练习23.1 |套装2

简介

本文是关于RD Sharma课本第23章直线中练习23.1的解决方案，属于11类RD Sharma套装2。本章主要讲解直线的基本概念和性质，为后续学习解析几何打下基础。

解决方案

题目要求

已知直线$AB$的斜率$k$，点$C$在$AB$上，证明$\Delta ABC$是等腰三角形的条件是$k=\frac{-1}{k}$。

解题思路

首先我们需要明确等腰三角形的定义，即两边长度相等或两角度数相等。那么我们可以通过比较两个角的度数来判断三角形是否等腰。

对于$\Delta ABC$，我们需要比较$\angle BAC$和$\angle ABC$的度数是否相等。

由题可知，点$C$在$AB$上，因此$AC$和$BC$的斜率分别为$k$和$\frac{-1}{k}$。

通过斜截式可以求出$AC$和$BC$的方程：

$AC:y-kx+k \times 0=0$

$BC:y-\frac{-1}{k}x+\frac{-1}{k} \times a=0$

其中$a$为$AB$和$x$轴的交点的横坐标。由于$AB$的斜率为$k$，因此可以列出$AB$的方程：

$AB:y-kx+b_1=0$

其中$b_1$为$AB$和$y$轴的交点的纵坐标。

通过解方程可以得到点$C$的坐标$(\frac{b_1}{2k},\frac{-b_1}{2})$。因此可以得到：

$\tan{\angle BAC}=|\frac{k-0}{1+k\times0}|=|k|$

$\tan{\angle ABC}=|\frac{\frac{-1}{k}-0}{1+\frac{-1}{k}\times0}|=|\frac{1}{k}|$

因此，$\Delta ABC$是等腰三角形，当且仅当$|k|=|\frac{1}{k}|$，即$k=\frac{-1}{k}$。

代码实现

### 题目要求

已知直线$AB$的斜率$k$，点$C$在$AB$上，证明$\Delta ABC$是等腰三角形的条件是$k=\frac{-1}{k}$。

### 解题思路

首先我们需要明确等腰三角形的定义，即两边长度相等或两角度数相等。那么我们可以通过比较两个角的度数来判断三角形是否等腰。

对于$\Delta ABC$，我们需要比较$\angle BAC$和$\angle ABC$的度数是否相等。

由题可知，点$C$在$AB$上，因此$AC$和$BC$的斜率分别为$k$和$\frac{-1}{k}$。

通过斜截式可以求出$AC$和$BC$的方程：

$AC:y-kx+k \times 0=0$

$BC:y-\frac{-1}{k}x+\frac{-1}{k} \times a=0$

其中$a$为$AB$和$x$轴的交点的横坐标。由于$AB$的斜率为$k$，因此可以列出$AB$的方程：

$AB:y-kx+b_1=0$

其中$b_1$为$AB$和$y$轴的交点的纵坐标。

通过解方程可以得到点$C$的坐标$(\frac{b_1}{2k},\frac{-b_1}{2})$。因此可以得到：

$\tan{\angle BAC}=|\frac{k-0}{1+k\times0}|=|k|$

$\tan{\angle ABC}=|\frac{\frac{-1}{k}-0}{1+\frac{-1}{k}\times0}|=|\frac{1}{k}|$

因此，$\Delta ABC$是等腰三角形，当且仅当$|k|=|\frac{1}{k}|$，即$k=\frac{-1}{k}$。