第 11 课 RD Sharma 解决方案 - 第 23 章直线 - 练习 23.9

本文介绍了 RD Sharma 第 11 课第 23 章直线练习 23.9 的解决方案。这个练习涉及到直线与圆的交点问题，需要我们应用一些基本的几何知识来解决。

练习 23.9

在平面直角坐标系中，设圆 $x^2+y^2=4$ ,直线 L: $5x-12y+12=0$ 交圆 C 于 A 点和 B 点。P 点是圆 C 的直径 AB 所在直线上距离 A 点 5 个单位长度的点。直线 L 与直线 AP 交于点 E。求线段 BE 的中点的坐标。

解决方案

确定圆心和半径

圆心为坐标原点 $(0, 0)$，半径 $r=2$。

求出点 A 和点 B

求解直线 L 与圆 C 的交点，即将直线代入圆方程得到交点坐标。

将 $y=\frac{5x}{12}+1$ 代入 $x^2+y^2=4$ 中，得到：

$$ \begin{aligned} x^2 + \left(\frac{5x}{12}+1\right)^2 &= 4 \ 144x^2 +25x^2 + 720x + 144 &= 0 \ 169x^2 +720x +144 &= 0 \end{aligned} $$

由此解得两个交点：$A\left(-\frac{8}{13},\frac{15}{13}\right)$ 和 $B\left(\frac{8}{13},-\frac{15}{13}\right)$。

求出点 P

P 点在直线 AB 上，离 A 点 5 个单位长度，因此 $P\left(-\frac{23}{13},\frac{50}{13}\right)$。

求出点 E

将直线 L 与直线 AP 的方程列出：

$$ L: 5x-12y+12=0 $$ $$ AP: \begin{cases} y=\frac{5x}{12}+1 \ y=\frac{50}{13}+\frac{45}{13}x \end{cases} $$

解得 $E\left(-\frac{39}{169},\frac{460}{169}\right)$。

求出线段 BE 的中点

根据中点公式，$M\left(-\frac{13}{169},\frac{175}{169}\right)$。

因此，线段 BE 的中点坐标为 $\left(-\frac{13}{169},\frac{175}{169}\right)$。

结论

经过以上计算，我们得到了练习 23.9 的解决方案。这个练习考察了直线与圆的交点问题，需要我们对几何知识有一定的掌握。通过计算，我们得到了线段 BE 的中点坐标为 $\left(-\frac{13}{169},\frac{175}{169}\right)$。