门 | GATE-CS-2007 |问题 26

该问题涉及到计算机科学中的门电路。

问题说明

给定两个$2$进制数$A$和$B$，门电路计算$A+B$并将其输出。其中输入数据通过$A_1$,$B_1$,$A_0$和$B_0$这4条输入线输入，输出是$S_1$和$S_0$这2条输出线。

具体而言，有一种类型的门电路，它有两个输入和两个输出，以及以下门操作：

1. $\operatorname{AND}$门：若该门的所有输入均为1，则输出为1，否则输出为0。
2. $\operatorname{OR}$门：若该门的任意输入为1，则输出为1，否则输出为0。
3. $\operatorname{XOR}$门：若该门的任意一个输入为1，而另一个输入为0，则输出为1，否则输出为0（也就是说，只有当输入不同时，才能输出1）。

已知这个门电路中有3个$\operatorname{AND}$门、1个$\operatorname{OR}$门和2个$\operatorname{XOR}$门（视为一个单元）。请你找出一个合理的结合方式，使该门电路能够计算$A+B$。

算法说明

我们需要构建一个逻辑电路，实现输入$A,B$的对应位求和，这里的和可以看作是在二进制下做的无进位加法。显然这些和的低位能直接体现在输出的$S_0$和$S_1$上。因此我们需要设计的门电路必须能够同时处理相应位的进位信息。

考虑一下$1$位二进制的加法情况，会产生以下几种的情况：

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 (有进位)

这表明，我们可以用两个$\operatorname{XOR}$门来计算两个二进制位的和，并用一个$\operatorname{AND}$门来计算它们的进位。

接下来我们需要组合这个单元，构建出能够求解两个$2$位二进制数的电路。因此我们需要分别设计对应位的求和器和进位运算器。按照上述设计，对于位的求和器，一个比较自然的思路是将其拆分成两个$1$位二进制数的和的计算和进位计算（在这里，需要计算的进位始终是上一位的进位和当前位的进位的$\operatorname{OR}$），然后再用上述单元进行运算。具体而言，电路设计如下：

算法分析

根据上述理论分析可知，该算法需要$3\times O(1)=O(1)$个$\operatorname{AND}$门、$1\times O(1)=O(1)$个$\operatorname{OR}$门和$2\times O(1)=O(1)$个$\operatorname{XOR}$门（每个单元需要$1$个）。因此，该算法的时间复杂度为$O(1)$。