约翰逊算法

问题是要在给定的加权有向图中找到每对顶点之间的最短路径，并且权重可能为负。使用约翰逊算法，我们可以找到所有对以O(V ² log?V + VE)时间最短的路径。约翰逊算法同时使用Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。

约翰逊算法使用“重新加权”技术。如果图中G =(V，E)的所有边缘权重w为非负值，则可以通过从每个顶点运行一次Dijkstra算法来找到所有顶点对之间的最短路径。如果G具有负负权重边缘，我们将计算一组新的非负负权重，从而使我们可以使用相同的方法。新的边缘权重集w必须满足两个基本属性：

• 对于所有的顶点对U，V∈V，从u到v使用加权函数w的最短路径是从也u到v使用加权函数w的最短路径。
• 对于所有边(u，v)，新的权重w(u，v)是非负的。

给定一个加权有向图G =(V，E)，权重函数w：E→R，而h：v→R为将顶点映射为实数的任何函数。

对于每个边(u，v)∈E定义

其中h(u)= u的标签
h(v)= p="" v的标签<="">

例：

步骤1：将任何源顶点的'放在图形外，并使's'到每个顶点'0'的距离。

步骤2：应用Bellman-Ford算法并计算每个顶点的最小权重。

步骤3： w(a，b)= w(a，b)+ h(a)-h(b)
= -3 +(-1)-(-4)
= 0

w(b，a)= w(b，a)+ h(b)-h(a)
+="" +(-1)-(-1)
="1
" +(-1)-0="1="0
" 0-(-1)
="0
" 5="" =="" h(a)-h(d)
="" h(b)-h(c)
="" h(c)-h(a)
="" h(d)-h(a)
="" h(d)-h(c)
="" w(a，d)="2" w(b，c)="3" w(c，a)="1" w(d，a)="-1" w(d，c)="4">

步骤4：现在所有边缘权重均为正，现在我们可以在每个顶点上应用Dijkstra算法，并使矩阵与图中的每个顶点相对应

情况1： “ a”作为源顶点

情况2： “ b”作为源顶点

情况3： “ c”作为源顶点

案例4： “ d”作为源顶点

第五步：

d _uv ←δ(u，v)+ h(v)-h(u)
d(a，a)= 0 +(-1)-(-1)= 0
d(a，b)= 0 +(-4)-(-1)= -3
d(a，c)= 0 +(-1)-(-1)= 0
d(a，d)= 1 +(0)-(-1)= 2
d(b，a)= 1 +(-1)-(-4)= 4
d(b，b)= 0 +(-4)-(-4)= 0
d(c，a)= 1 +(-1)-(-1)= 1
d(c，b)= 1 +(-4)-(-1)= -2
d(c，c)= 0
d(c，d)= 2 +(0)-(-1)= 3
d(d，a)= 0 +(-1)-(0)= -1
d(d，b)= 0 +(-4)-(0)= -4
d(d，c)= 0 +(-1)-(0)= -1
d(d，d)= 0