门| GATE-CS-2007 |问题27

题目描述

给定一个有向图 $G = (V, E)$，在 $G$ 中，从源顶点 $s$ 可以到达所有其他顶点。考虑一个权重函数 $w : E → R$，对于一条边 $e \in E$，$w(e)$ 是其权重。在 $G$ 中定义了一个权重函数 $\omega : V → R$，对于一个顶点 $v \in V$，$\omega(v)$ 是从 $s$ 到 $v$ 的最短路径的权重。给定 $w$ 和 $\omega$，请考虑下面的算法，以找到从 $s$ 可以到达的所有顶点之间最小的 $\omega$ 值。

for i = 1 to |V|
    for each edge (u, v) with weight w(uv)
        if ∞ = ω(u)
            then ω(v) = min{ω(v),∞}
        else ω(v) = min{ω(v),ω(u)+ w(uv)}
return ω

此处，$∞$ 表示无穷大。 选择正确的选项。

(A) 算法计算从 $s$ 可以到达所有顶点之间最小的距离 (B) 算法计算从 $s$ 可以到达所有顶点之间最小的 $\omega$ 值 (C) 如果 $G$ 中存在一个权重为负的环，则算法进入无限循环 (D) 如果 $G$ 中存在一个权重为负的环，则算法给出错误的结果

解题思路

这个算法实现了从 $s$ 到其他所有顶点的最短路径算法，因此选项 (A) 是不正确的。

根据题意，$\omega(v)$ 是从 $s$ 到 $v$ 的最短路径的权重，因此算法计算的是从 $s$ 可以到达所有顶点之间最小的 $\omega$ 值，因此选项 (B) 是正确的。

如果 $G$ 中存在一个权重为负的环，则算法会进入无限循环。这是因为算法每次都可以通过权重更小的边来更新 $\omega(v)$ 的值，因此会无限循环下去。因此选项 (C) 是正确的。

但是选项 (D) 是不正确的，因为算法在计算某个结点 $v$ 的 $\omega$ 值时，最多只会考虑 $v$ 的所有入边中权重最小的那条边 $e$，如果 $e$ 的起点 $u$ 的 $\omega$ 值为无穷大，则算法会使 $v$ 的 $\omega$ 值也为无穷大，而如果 $e$ 的起点 $u$ 的 $\omega$ 值不为无穷大，则算法会通过 $e$ 更新 $v$ 的 $\omega$ 值，此时 $v$ 的 $\omega$ 值肯定是正确的。因此，选项 (D) 是错误的。

正确答案

(B) 算法计算从 $s$ 可以到达所有顶点之间最小的 $\omega$ 值 (C) 如果 $G$ 中存在一个权重为负的环，则算法进入无限循环