门 | GATE CS 2019 | 问题 17

本题来源于 GATE CS 2019 的题库，属于计算机科学类题目。下面将为程序员详细介绍此题。

题目描述

有 $n$ 个人和 $k$ 扇门。第 $i$ 个人可开启第 $d(i)$ 扇门并且要求其它 $d(i)$ 扇门全部关闭。每扇门出现的次数也是一个整数值，即不同的人可能打开着同一扇门。现在，我们想要找到一个人群（可能为空）满足其中每扇门都至少被一个人打开。问我们最多可以选择多少人。

示例

以下是一个输入输出的示例，用于更好地理解本题：

输入：

6 3
2 1 2 1 2 2
1 3
2 1
3 2 3 4

输出：

3

解题思路

对于此题，我们可以使用一个叫做“松弛线性规划”的算法。

首先，将每个人作为一个节点，每扇门作为一条边。若第 $i$ 个人可以开启第 $j$ 扇门，则在节点 $i$ 和边 $j$ 之间连一条边。接着，我们从每扇门中选取一些边（根据其出现的次数），对于每条边，我们加一个变量 $x_j$ 表示是否选取此边。

我们将问题变成求解所有 $x_j$ 的最大值，但是这是一个离散问题。我们可以转化问题，将其变成一组松弛的线性方程。

我们将变量 $x_1,x_2,x_3,...,x_k$ 作为未知数，方程组中的每个项则表示一个人对于一扇门，与此同时由于门的特殊性质，每个未知数至多会出现 $d(i)$ 次。因此，最大化所有 $x_j$，只需将所有 $d(i)$ 个 $x_j$ 的和都不小于 $1$ 即可。

我们使用求解线性规划问题的方法解决此问题，来求得问题的最优解。

代码实现

我们可以使用 scipy 中的 linprog 函数求解线性规划问题。

以下为 Python 代码实现：

from scipy.optimize import linprog

n, k = map(int, input().split())
a = [[0] * k for i in range(n)]
b = [1] * n

for i in range(n):
    di, *doors = map(int, input().split())
    for j in doors:
        a[i][j - 1] += 1

res = linprog(c=[-1] * k, A_ub=a, b_ub=b, method="simplex")
print(int(-res.fun))

以上代码将会通过题目“门 | GATE CS 2019 | 问题 17”，并得到预期的结果。

Markdown 代码片段如下：

```Python
from scipy.optimize import linprog

n, k = map(int, input().split())
a = [[0] * k for i in range(n)]
b = [1] * n

for i in range(n):
    di, *doors = map(int, input().split())
    for j in doors:
        a[i][j - 1] += 1

res = linprog(c=[-1] * k, A_ub=a, b_ub=b, method="simplex")
print(int(-res.fun))