Class 12 RD Sharma解决方案-第19章不定积分–练习19.26 |套装1

介绍

RD Sharma解决方案是绝对必要的，在12年级数学中，RD Sharma是一本知名的教科书，并且布置了各种各样的练习题来加深学生对于数学的理解和运用。然而，这些练习题并不总是容易解决，特别是在解决不定积分的时候。为了帮助学生更好的理解和解决RD Sharma教科书中的练习题，RD Sharma解决方案应运而生。

套装1 - 练习19.26

这个练习题要求我们计算以下不定积分：

$$ \int x^2\sqrt{1+x^3}dx $$

为了帮助解决这个问题，我们可以使用如下步骤：

1. 将$\sqrt{1+x^3}$简化为$x\sqrt{1+x^3}/x$
2. 让 $t=1+x^3$, $dt=3x^2dx$
3. 将$x^2$替换为$(t-1)/3$
4. 计算积分

指导如下：

$$\begin{aligned} \int x^2\sqrt{1+x^3}dx&=\int \frac{x^2\sqrt{1+x^3}}{x}dx \ &=\int \frac{x\sqrt{1+x^3}}{x}x^2dx \ &=\int \frac{x\sqrt{t}3x^2}{x}dx \ &=3\int \sqrt{t}x^2dx \ &=3\int \sqrt{(1+x^3)}\frac{(t-1)}{3}^\frac{1}{2}\frac{dt}{3x^2} \ &=-\frac{2}{9}\int \sqrt{t}\left(t-1\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(t-1\right) \ &=-\frac{2}{9}\frac{(t-1)^\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)} +C\ &=-\frac{4}{9}\sqrt{(1+x^3)}\frac{1}{\sqrt{(1+x^3)^2}}+C\ &=-\frac{4}{9\sqrt{(1+x^3)}}+C \end{aligned}$$

因此，$$\int x^2\sqrt{1+x^3}dx=-\frac{4}{9\sqrt{(1+x^3)}}+C$$

代码片段

$$\begin{aligned} \int x^2\sqrt{1+x^3}dx&=\int \frac{x^2\sqrt{1+x^3}}{x}dx \\
&=\int \frac{x\sqrt{1+x^3}}{x}x^2dx \\
&=\int \frac{x\sqrt{t}3x^2}{x}dx \\
&=3\int \sqrt{t}x^2dx \\
&=3\int \sqrt{(1+x^3)}\frac{(t-1)}{3}^\frac{1}{2}\frac{dt}{3x^2} \\
&=-\frac{2}{9}\int \sqrt{t}\left(t-1\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(t-1\right) \\
&=-\frac{2}{9}\frac{(t-1)^\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)} +C\\ 
&=-\frac{4}{9}\sqrt{(1+x^3)}\frac{1}{\sqrt{(1+x^3)^2}}+C\\
&=-\frac{4}{9\sqrt{(1+x^3)}}+C \end{aligned}$$

因此，$$\int x^2\sqrt{1+x^3}dx=-\frac{4}{9\sqrt{(1+x^3)}}+C$$