第12类RD Sharma解–第19章不定积分–练习19.30 | 套装2

本篇文章介绍第12类RD Sharma数学教材第19章不定积分中的练习19.30，并且提供了对应的解答，帮助程序员们更好地理解和学习这一章节。

介绍

不定积分是微积分中的一个重要的概念，是求函数原函数的逆运算。本章节共包括24个练习，其中练习19.30是其中比较难的一道题目。

练习19.30

求以下不定积分：

$$\int\frac{x^5+3x^4-8x^2+6}{(x^3+2)^2}dx$$

解答

我们可以通过分解分母，化简后再利用换元积分的方法来求解这个不定积分。

首先，我们可以将分母进行分解：

$$(x^3+2)^2 = (x^3+2)(x^3+2) $$

然后我们可以将分子中的每一项都拆开：

$$\frac{x^5+3x^4-8x^2+6}{(x^3+2)^2} = \frac{x^5}{(x^3+2)^2}+\frac{3x^4}{(x^3+2)^2}- \frac{8x^2}{(x^3+2)^2}+\frac{6}{(x^3+2)^2}$$

接下来，我们用 $u=x^3+2$ 进行换元，令 $du=3x^2dx$，则

$$\begin{aligned}\int\frac{x^5+3x^4-8x^2+6}{(x^3+2)^2}dx &=\int\frac{x^5}{(x^3+2)^2}dx+\int\frac{3x^4}{(x^3+2)^2}dx- \int\frac{8x^2}{(x^3+2)^2}dx+\int\frac{6}{(x^3+2)^2}dx\ & = \frac{1}{3}\int\frac{(u-2)^2}{u^2}du+ \int\frac{u-2}{u^2}du- \int\frac{8}{u^2}du + 2\int\frac{1}{u^2}du\ & = \frac{1}{3}\int\frac{(u^2-4u+4)}{u^2}du+ \int\frac{u-2}{u^2}du- \int\frac{8}{u^2}du + 2\int\frac{1}{u^2}du\ & = \frac{1}{3}\int\left(1- \frac{4}{u}+\frac{4}{u^2}\right)du+ \int\left(\frac{1}{u}-\frac{2}{u^2}\right)du- \int\frac{8}{u^2}du + 2\int\frac{1}{u^2}du\ & = \frac{1}{3}\left(u+4\ln|u|-\frac{4}{u}\right)+\ln|u|+\frac{2}{u}+\frac{8}{u} - \frac{2}{u} + C\ & = \frac{1}{3}\left((x^3+2)+4\ln|x^3+2|-\frac{4}{x^3+2}\right)+\ln|x^3+2|+\frac{6}{x^3+2} + C\end{aligned}$$

因此，原函数为：

$$\int\frac{x^5+3x^4-8x^2+6}{(x^3+2)^2}dx = \frac{1}{3}\left((x^3+2)+4\ln|x^3+2|-\frac{4}{x^3+2}\right)+\ln|x^3+2|+\frac{6}{x^3+2} + C$$

其中 $C$ 为常数。

结论

本篇文章介绍了第12类RD Sharma数学教材第19章不定积分的练习19.30，并且提供了详细的解答过程，希望对程序员们有所帮助。若有疑问，欢迎在评论区留言。