题目介绍：第12类RD Sharma解–第19章不定积分–练习19.26 |套装2

这道题目是RD Sharma数学书中第19章不定积分的练习题，属于套装2中的第26题。

题目描述

求不定积分$\int\dfrac{\cos x}{\sqrt{3-2\sin x}}dx$

解题思路

我们可以先尝试用万能公式将 $\cos x$ 转化为 $\sin x$ 的形式，也就是将 $\cos x$ 化为 $\sqrt{1-\sin^2x}$，代入原式得：

$$ \int\dfrac{\sqrt{1-\sin^2x}}{\sqrt{3-2\sin x}}dx $$

再尝试将 $\sqrt{3-2\sin x}$ 用三角函数表示，

$$ \sqrt{3-2\sin x}=\sqrt{4\cos^2\dfrac{x}{2}-2}=2\cos\dfrac{x}{2}\sqrt{1-\dfrac{\sin^2\dfrac{x}{2}}{\cos^2\dfrac{x}{2}}}=2\cos\dfrac{x}{2}|\cos\dfrac{x}{2}| $$

于是我们就得到：

$$ \int\dfrac{\sqrt{1-\sin^2x}}{2\cos\dfrac{x}{2}|\cos\dfrac{x}{2}|}dx $$

接下来，我们需要分类讨论，当 $\cos\dfrac{x}{2}>0,$ 也就是 $0<x<\pi$ 时，有：

$$ \int\dfrac{\sqrt{1-\sin^2x}}{2\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}}dx = \int\dfrac{dx}{2\cos\dfrac{x}{2}}=\ln\Bigg|\tan\dfrac{x}{2}+\sec\dfrac{x}{2}\Bigg|+C $$

当 $\cos\dfrac{x}{2}<0,$ 也就是 $\pi<x<2\pi$ 时，有：

$$ \int\dfrac{\sqrt{1-\sin^2x}}{-2\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}}dx = \int\dfrac{dx}{2\cos\dfrac{x}{2}}=\ln\Bigg|\tan\dfrac{x}{2}-\sec\dfrac{x}{2}\Bigg|+C $$

最终答案就是两者相加，得到：

$$ \int\dfrac{\cos x}{\sqrt{3-2\sin x}}dx=\ln\Bigg|\tan\dfrac{x}{2}+\sec\dfrac{x}{2}\Bigg|-\ln\Bigg|\tan\dfrac{x}{2}-\sec\dfrac{x}{2}\Bigg|+C $$

代码实现

题目描述：求不定积分∫cos𝑥/√(3−2sin𝑥)dx

## 解题思路

我们可以先尝试用万能公式将 cos𝑥 转化为 sin𝑥 的形式，也就是将 cos𝑥 化为 √(1−sin^2𝑥)，代入原式得：

∫(1−sin^2𝑥) / √(3−2sin𝑥) dx

再尝试将 √(3−2sin𝑥) 用三角函数表示，

√(3−2sin𝑥)=√(4cos^2(x/2)−2)=2cos(x/2)√(1−sin^2(x/2)/cos^2(x/2))=2cos(x/2)|cos(x/2)|

于是我们就得到：

∫(1-sin^2𝑥) / (2cos(x/2)|cos(x/2)|)dx

接下来，我们需要分类讨论，当 cos(x/2)>0,也就是 0<x<π 时，有：

∫1 / (2cos(x/2))dx=ln|tan(x/2)+sec(x/2)|+C

当 cos(x/2)<0,也就是 π<x<2π 时，有：

∫1 / (-2cos(x/2))dx=ln|tan(x/2)-sec(x/2)|+C

最终答案就是两者相加，得到：

∫𝑥cos / √(3−2sin𝑥)dx=ln|tan(x/2)+sec(x/2)|−ln|tan(x/2)−sec(x/2)|+C