第 12 课 NCERT 解决方案 - 数学第一部分 - 导数的应用 - 练习 6.2|设置 2

本文主要介绍第 12 课NCERT教材《数学第一部分- 导数的应用》中练习6.2设置2的解决方案。

任务概述

本练习要求求解以下函数的最大值和最小值：

$f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 3$

在$[0, 2]$上。

解决方案

步骤1：求导

首先我们需要求出$f(x)$的导函数$f'(x)$：

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x$

步骤2：求解驻点

求解驻点即令$f'(x) = 0$：

$12x^3 - 12x^2 - 24x = 0$

可以得到3个解：

$x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = -1$

其中只有$x_1$和$x_2$在$[0, 2]$区间内。

步骤3：求解极值

现在我们需要判断哪些点是极值。根据$f'(x)$的符号，我们可以得到以下结论：

• 当$x\in[0,1)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$递减。
• 当$x\in(1,2]$时，$f'(x)>0$，$f(x)$递增。

因此，$f(x_1)$是$f(x)$的最大值，$f(x_2)$是$f(x)$的最小值。

步骤4：求解最大值和最小值

现在我们有了所有必要的信息。直接代入$x_1$和$x_2$即可求出$f(x)$的最大值和最小值：

$f(x_1) = f(0) = 3$

$f(x_2) = f(2) = 19$

因此，$f(x)$的最大值为19，最小值为3。

总结

本文介绍了第12课NCERT教材《数学第一部分- 导数的应用》中练习6.2设置2的解决方案，包括求导、求解驻点和极值、求解最大值和最小值。通过这个例子，我们可以看到导数的应用是多种多样的，可以用来求解函数的最值、判断函数的单调性、解析函数的性质等。如果您对此感兴趣，建议您深入学习导数的应用，掌握更多的技巧和方法。