9类RD Sharma解决方案–第四章代数身份-练习4.2

简介

9类RD Sharma解决方案是为数不多的高中数学学习工具之一，旨在帮助学生理解和解决不同技巧的问题。本文介绍其中的第四章代数身份-练习4.2，给出对于本章的解决方案。

练习4.2

本章的练习4.2是一组代数身份的问题。其中的问题有时会包括分解式，有时会要求证明某个等式。此处我们选取其中的两个问题进行解决方案的说明。

问题1

证明以下等式：

$$(a+b+c)^2 - (a-b+c)^2=4ab+4bc$$

解决方案

我们先将等式的左边进行简化：

$$(a+b+c)^2 - (a-b+c)^2$$

$$= (a^2 + b^2 + c^2) + 2ab + 2ac + 2bc - (a^2 + b^2 + c^2) + 2ab - 2ac + 2bc$$

$$= 4ab + 4bc$$

因此：

$$(a+b+c)^2 - (a-b+c)^2=4ab+4bc$$

问题2

将$(\sin \theta + \cos \theta)^2$分解成$\sin^2 \theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta - 1$

解决方案

将$(\sin\theta + \cos\theta)^2$展开，得到：

$$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta \cos\theta + \cos^2\theta$$

再将-1加入等式得到：

$$(\sin\theta + \cos\theta)^2 - 1 = \sin^2\theta + 2\sin\theta \cos\theta + \cos^2\theta - 1$$

接下来证明：

$$(\sin\theta + \cos\theta)^2 - 1 = \sin^2\theta + 2\sin\theta \cos\theta + \cos^2\theta - 1$$

$$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta \cos\theta + \cos^2\theta - 1 + 1$$

$$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta \cos\theta + \cos^2\theta$$

因此，

$$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta \cos\theta + \cos^2\theta - 1$$

结论

通过解决方案的解析，我们得出本章习题的正确答案。9类RD Sharma解决方案-第四章代数身份-练习4.2为学生提供了丰富多样的代数身份问题，帮助学生提高他们的学习技巧和解决问题的方法。