UGC NET CS 2015 年 12 月 – II |问题 12

该题涉及二叉搜索树的插入和删除操作，需要我们掌握相关的数据结构知识和算法实现。

二叉搜索树

二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种基于二分策略的树形数据结构，它满足下列条件：

• 左子树中所有结点的键值都小于根节点的键值。
• 右子树中所有结点的键值都大于根节点的键值。
• 左、右子树本身也是二叉搜索树。

二叉搜索树支持按照键值进行快速查找、插入和删除操作。它的时间复杂度一般为O(log n)，但在最坏情况下可能会退化为链表，时间复杂度退化为O(n)。

插入操作

当我们需要把一个值v插入到二叉搜索树中时，我们首先将它作为叶子节点插入到树中。从根节点开始，如果v比当前节点节点键值小，则向左子树查找；如果v比当前节点节点键值大，则向右子树查找，直到找到一个空节点，即可将v插入到该空节点位置。

插入操作的实现如下（这里使用C++语言）：

Node* insert(Node* root, int key) {
    if (root == NULL) {
        return new Node(key);
    } else if (key < root->key) {
        root->left = insert(root->left, key);
    } else if (key > root->key) {
        root->right = insert(root->right, key);
    }
    return root;
}

这个函数接收一个二叉搜索树的根节点和需要插入的键值，返回新的根节点。

删除操作

当二叉搜索树中存在一个值v时，我们需要将它从树中删除。如果该节点是叶子节点，直接删除；如果该节点只有一个子节点，则将该节点的子节点代替该节点；如果该节点有两个子节点，则需要找到其后继节点（即右子树中的最小节点）替代该节点，并从右子树中删除该后继节点。

删除操作的实现如下：

Node* deleteNode(Node* root, int key) {
    if (!root) {
        return NULL;
    }
    if (key < root->key) {
        root->left = deleteNode(root->left, key);
    } else if (key > root->key) {
        root->right = deleteNode(root->right, key);
    } else {
        if (!root->left && !root->right) {  // case 1: no children
            delete root;
            root = NULL;
        } else if (!root->left) {  // case 2: one child
            Node* temp = root;
            root = root->right;
            delete temp;
        } else if (!root->right) {
            Node* temp = root;
            root = root->left;
            delete temp;
        } else {  // case 3: two children
            Node* temp = findMin(root->right);
            root->key = temp->key;
            root->right = deleteNode(root->right, temp->key);
        }
    }
    return root;
}

这个函数接收一个二叉搜索树的根节点和需要删除的键值，返回新的根节点。需要注意的是，函数中用到了一个辅助函数 findMin，用于查找右子树中的最小节点。

总结

二叉搜索树是一种非常有用的数据结构，它兼顾了快速查找、插入和删除的操作。插入和删除二叉搜索树节点的操作需要我们非常清晰地理解数据结构和算法以及实现技巧。