UGC NET CS 2015年12月 - II | 问题 7

本次UGC NET CS 2015年12月 - II考试中的问题7是有关于数据结构和算法的问题。这个问题要求我们设计一个算法，实现平衡二叉树的自动构建和插入操作。

平衡二叉树

平衡二叉树是一种二叉搜索树，其中每个节点的左右子树的高度差不能超过1。这保证了二叉树的高度始终为logn，其中n是节点数。

在平衡二叉树上进行插入和删除操作时，如果需要调整树的结构以使之继续保持平衡，则需要进行一些自平衡的操作。这些操作包括左旋，右旋，左右旋和右左旋。

算法设计

我们可以将平衡二叉树的构建和插入操作分别实现。对于构建操作，我们可以用一个数组来存储元素。我们将首先从数组中选取中间元素作为根节点，然后递归地构建左子树和右子树。

对于插入操作，我们可以使用和二叉搜索树相同的方法。首先比较要插入的元素和根节点的大小，然后递归地插入到左子树或右子树中。然后，我们需要调整树的结构以保持平衡。具体来说，如果插入元素导致节点的左右子树高度差超过1，则需要进行自平衡处理。

代码示例

构建平衡二叉树的算法如下：

Node buildBalancedBST(int[] arr, int start, int end) {
    if (start > end) {
        return null;
    }
    int mid = (start + end) / 2;
    Node node = new Node(arr[mid]);
    node.left = buildBalancedBST(arr, start, mid - 1);
    node.right = buildBalancedBST(arr, mid + 1, end);
    return node;
}

其中Node是树节点的类。我们可以使用该算法来构建平衡二叉树。

插入操作的代码大致为：

Node insert(Node node, int key) {
    if (node == null) {
        return new Node(key);
    }
    if (key < node.val) {
        node.left = insert(node.left, key);
    } else if (key > node.val) {
        node.right = insert(node.right, key);
    } else {
        return node;
    }
    return balance(node);
}

其中balance方法用于自平衡。

Node balance(Node node) {
    if (getHeight(node.left) - getHeight(node.right) > 1) {
        if (getHeight(node.left.left) >= getHeight(node.left.right)) {
            node = rightRotate(node);
        } else {
            node.left = leftRotate(node.left);
            node = rightRotate(node);
        }
    } else if (getHeight(node.right) - getHeight(node.left) > 1) {
        if (getHeight(node.right.right) >= getHeight(node.right.left)) {
            node = leftRotate(node);
        } else {
            node.right = rightRotate(node.right);
            node = leftRotate(node);
        }
    }
    return node;
}

其中，leftRotate方法实现左旋，rightRotate实现右旋。getHeight方法用于计算节点的高度。

以上就是一个简单的平衡二叉树的构建和插入算法。