门| GATE CS 1999 |问题17

这道问题是1999年GATE计算机科学考试第17题，考查对于有向图的基础理解和遍历方式。

题目描述

给定有向无环图中的一个节点，要求找到从该节点开始遍历所能到达的深度最大的节点。

输入格式

图的邻接矩阵，其中矩阵的(i, j)元素为1表示从节点i到节点j有一条有向边，为0表示没有。

输出格式

从给定节点开始遍历所能到达的深度最大的节点。

解题思路

这是一道经典的拓扑排序问题，我们可以借助拓扑排序的结果来求解问题。

首先，我们需要对图进行拓扑排序。拓扑排序能够把一个DAG中的节点排成一行，使得所有的边都从左向右指向。具体实现方法可以参考 拓扑排序。

拓扑排序之后，我们可以得到一个节点序列，使得对于每一个节点i，它到所有其它节点的边都指向在它后面的节点。从起始节点开始，我们按照这个顺序依次调用DFS，记录下每个节点的深度，最后找到深度最大的节点即可。

代码实现

实现过程如下，时间复杂度为O(n^2)。

def dfs(graph, visited, node, depth):
    visited[node] = True
    max_depth_node = node
    max_depth = depth
    for i in range(len(graph)):
        if graph[node][i] == 1 and not visited[i]:
            node, depth = dfs(graph, visited, i, depth+1)
            if depth > max_depth:
                max_depth_node, max_depth = node, depth
    return max_depth_node, max_depth

def find_max_depth_node(graph, start):
    visited = [False] * len(graph)
    node, depth = dfs(graph, visited, start, 1)
    return node

总结

此题考查的是经典的拓扑排序和DFS的结合，需要掌握这两个算法在有向无环图遍历中的应用。同时也需要注意，该题有多个节点都能到达同一个深度最大的节点的情况，需要根据题意具体判断返回哪一个节点。