第12课NCERT解决方案-数学第一部分-第2章反三角函数-第2章杂项练习|设置1

本文介绍的是《NCERT数学第一部分》第12课的解决方案，具体是第2章反三角函数的杂项练习中的第1个练习。这个练习主要涉及反正切的基本概念和性质。

题目描述

求下面反正切的值：

1. $\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
2. $\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$
3. $\tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{1}{239}\right)$

解题思路

首先回忆一下反正切函数的定义：对于一个实数$x$，$\tan^{-1}x$的值是介于$-\frac{\pi}{2}$和$\frac{\pi}{2}$之间的角度$\theta$，使得$\tan\theta=x$。因此，要求解这些反正切的值，我们需要求出相应的角度。这里提供两种方法。

方法一：利用三角函数的基本关系式

我们知道，对于一个直角三角形，正切值等于斜边上的正切线段长度与直角边上的邻边长度之比。因此，要求解$\tan^{-1}x$的值，我们可以找到一个角度$\theta$，使得它的正切等于$x$，并且让这个角度的邻边长度为$1$，斜边长度为$x$，求出这个角度的大小，即可得到$\tan^{-1}x$的值。

对于第1题，$\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$，我们找到一个$30\degree$角度，它的正切值是$\frac{1}{\sqrt{3}}$，且邻边长度为$1$，斜边长度为$\sqrt{3}$。因此，这个角度的大小是$30\degree$，所以$\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=30\degree$。

对于第2题，$\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$，我们找到一个$60\degree$角度，它的正切值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且邻边长度为$1$，斜边长度为$\sqrt{3}$。因此，这个角度的大小是$60\degree$，所以$\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=60\degree$。

对于第3题，我们利用反正切函数的性质，即$\tan^{-1}x-\tan^{-1}y=\tan^{-1}\frac{x-y}{1+xy}$，将$\tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{1}{239}\right)$转化为$\tan^{-1}\frac{1/5-1/239}{1+1/5\times 1/239}$的形式。计算得出分子是$\frac{238}{1195}$，分母是$\frac{244}{1195}$，因此这个式子的值等于$\tan^{-1}\frac{\frac{238}{1195}}{\frac{244}{1195}}=\tan^{-1}\frac{238}{244}=\tan^{-1}\frac{119}{122}$，然后我们通过方法一中的步骤求得这个东西相应的角度为$43.6\degree$。因此，$\tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{1}{239}\right)=43.6\degree$。

方法二：利用反正切函数的定义

根据反正切函数的定义，对于一个实数$x$，$\tan^{-1}x$的值是介于$-\frac{\pi}{2}$和$\frac{\pi}{2}$之间的角度$\theta$，使得$\tan\theta=x$。因此，我们可以反过来求解。

对于第1题，我们要求的是$\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$的值，使得$\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$。根据三角函数的定义，等于斜边上的正切线段长度与直角边上的邻边长度之比。我们可以通过画出一个$30\degree$角度的直角三角形，来求出这个比例。我们知道，这个三角形中，邻边长度为$1$，斜边长度为$\sqrt{3}$，而斜边上的正切长度正好是$1$，因此，$\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=30\degree$。

对于第2题，我们要求的是$\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$的值，使得$\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{3}$。根据三角函数的定义，我们可以得到等式$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而得到$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{3}\cos\theta$。我们知道，当$\theta=60\degree$时，$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\theta=\frac{1}{2}$，这恰好满足上述等式，因此，$\theta=60\degree$，$\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=60\degree$。

对于第3题，我们可以利用反三角函数的基本性质，即$\tan^{-1}x-\tan^{-1}y=\tan^{-1}\frac{x-y}{1+xy}$来求解。我们可以将式子$\tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{1}{239}\right)$转化为$\tan^{-1}\frac{1/5-1/239}{1+1/5\times 1/239}$的形式。计算得出分子是$\frac{238}{1195}$，分母是$\frac{244}{1195}$，因此这个式子的值等于$\tan^{-1}\frac{\frac{238}{1195}}{\frac{244}{1195}}=\tan^{-1}\frac{238}{244}=\tan^{-1}\frac{119}{122}$，然后我们用方法二的步骤，可以求得这个值为$43.6\degree$。

结论

通过上述两种方法求解，我们得到的结果是一致的。具体来说，第1题的解是$\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=30\degree$，第2题的解是$\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=60\degree$，第3题的解是$\tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{1}{239}\right)=43.6\degree$。这道练习可以帮助学生熟练地掌握反三角函数的基本概念和性质，为以后的学习打下坚实的基础。