第 12 课 NCERT 解决方案 - 数学第一部分 - 第 5 章连续性和可微性 - 练习 5.4

区分以下 wrt x

问题 1. y = $\frac{e^x}{\sin x}$

解决方案：

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\frac{e^x}{\sin x})$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin x\frac{d}{dx}e^x-e^x\frac{d}{dx}\sin x}{sin^2x}$       ($\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=v\frac{\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$)

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin x e^x-e^x\cos x}{sin^2x}$

$\frac{dy}{dx}=e^x\frac{(\sin x-\cos x)}{\sin^2x}$

问题2。 $y=e^{\sin^{-1}x}$

解决方案：

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(e^{sin^{-1}x})=\frac{dy}{dx}=e^{sin^{-1}x}.\frac{d}{dx}(\sin ^{-1}x)$

$\frac{dy}{dx}=e^{sin^{-1}x}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

问题 3。 $y=e^{x^{3}}$

解决方案：

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(e^{x^{3}})$

$\frac{dy}{dx}=e^{x^{3}}.\frac{dy}{dx}(x^3)=\frac{dy}{dx}=e^{x^{3}}.(3x^{2})$

$\frac{dy}{dx}=3x^2e^{x^3}$

问题 4. y=sin(tan ^-1 e ^-x )

解决方案：

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\sin(\tan^{-1}e^{-x}))$

$\frac{dy}{dx}=\cos(\tan^{-1}e^{-x}).\frac{d}{dx}(\tan^{-1}e^{-x})$

$\frac{dy}{dx}=\cos(\tan^{-1}e^{-x}).\frac{1}{1+e^{-2x}}.\frac{d}{dx}e^{-x}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-\cos(tan^{-1}e^{-x})}{1+e^{-2x}}.e^{-x}$

问题 5. y = log(cos e ^x )

解决方案：

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\log(\cos e^x))$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos e^x}.\frac{d}{dx}.\cos e^x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos e^x}.(-\sin e^x).\frac{d}{dx}e^x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-\sin e^x}{\cos e^x}.e^x$

$\frac{dy}{dx}=-e^x\tan e^x$

问题 6。 $y = e^{x} + e^{x^{2}} + e^{x^{3}} + e^{x^{4}} + e^{x^{5}}$

解决方案：

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}e^x+\frac{d}{dx}e^{x^{2}}+\frac{d}{dx}e^{x^{3}}+\frac{d}{dx}e^{x^{4}}+\frac{d}{dx}e^{x^{5}}$

$\frac{dy}{dx}=e^x+e^{x^{2}}.\frac{d}{dx}x^2+e^{x^{3}}\frac{d}{dx}x^3+e^{x^{4}}\frac{d}{dx}x^4+e^{x^{5}}\frac{d}{dx}x^5$

$\frac{dy}{dx}=e^x2x^{x^{2}}+3x^2e^{x^{3}}+4x^3e^{x^{4}}+5x^4e^{x^{5}}$

问题 7。 $y=\sqrt{e^{\sqrt{x}}}$

解决方案：

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\sqrt{e^{\sqrt{x}}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(e^{\sqrt{x}})^{-1/2}.\frac{d}{dx}(e^{\sqrt{x}})$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{e^{\sqrt{x}}}}.e^{\sqrt{x}}.\frac{d}{dx}\sqrt{x}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{e^{\sqrt{x}}}}{2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{e^{\sqrt{x}}}}{4\sqrt{x}}$

问题 8. y = log(log x)

解决方案：

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\log (\log x))$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\log x}.\frac{d}{dx}\log x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\log x}$

问题 9. y = $\frac{\cos x}{\log x}$

解决方案：

$\frac{dy}{dx}=\frac{\log x\frac{d}{dx}\cos x-\cos x\frac{dy}{dx}\log x}{\log^2x}$                                         $(\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2})$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\log x(-\sin x)-\cos x.(\frac{1}{x})}{\log^2x}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-\sin x}{\log x}-\frac{\cos x}{x\log^2x}$

问题 10. y= cos (log x+e ^x )

解决方案：

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\cos(\log x+e^x))$

$\frac{dy}{dx}=-\sin(\log x+e^x).\frac{d}{dx}\sin(\log x+e^x)$

$\frac{dy}{dx}=-\sin(\log x+e^x).(\frac{1}{x}+e^x)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-\sin(\log x+e^x)(1+xe^x)}{x}$