第 12 课 RD Sharma 解决方案 – 第 28 章空间直线 – 练习 28.3

本文介绍了RD Sharma数学教材第12课第28章空间直线中的练习28.3的解决方案。这个练习围绕直线和平面的交点，以及直线的包含关系展开。通过阅读本文，您将学会如何解决这些问题。

解决方案

题目描述

在空间中，给定一条直线L和一个点P，以及三个平面A,B,C。假设：

1. 直线L与平面A的交点为M；
2. 直线L与平面B的交点为N；
3. 直线L穿过平面C。

证明：

1. 如果点P在平面C中，则点P必须位于MN之间；
2. 如果点P在平面A、B之外，则点P必须位于MN之外；
3. 如果点N在平面A的同侧，点M在平面B的同侧，则直线L在平面C的同侧；

解题思路

这个练习中，要求我们证明三个命题。因此，我们需要分别考虑这三个命题，找到证明它们的方法。

对于第一个命题，我们可以利用点到直线的距离公式，证明当点P在平面C中时，它必须处于MN之间。具体地说，我们可以证明：

$$ \frac{\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}}{|\overrightarrow{PN}|^2} \in [0,1] $$

如果这个式子成立，那么点P就位于MN之间。反之，如果点P不在MN之间，则这个式子不成立。我们需要利用向量运算，计算出这个式子的值，然后与[0,1]比较。

对于第二个命题，我们需要证明当点P在平面A、B之外时，它必须处于MN之外。我们可以通过反证法来证明这个命题。即，假设点P在MN之间，然后证明这个假设是不成立的。具体操作上，我们可以使用向量运算，计算出点P到直线L的距离，然后比较这个距离和MN之间的最小距离，就可以判断点P是否在MN之间。

对于第三个命题，我们需要证明当点N在平面A的同侧，点M在平面B的同侧时，直线L在平面C的同侧。这个证明比较简单，我们只需要利用向量点积的符号来证明即可。具体地说，对于任意一个在平面C上的点Q，我们可以计算出向量$\overrightarrow{MQ}$和$\overrightarrow{NQ}$的点积的符号，然后比较符号是否相同即可。

代码实现

import numpy as np

def point_to_line_dist(p, l1, l2):
    """
    计算点P到直线L的距离
    """
    v1 = l2 - l1
    v2 = p - l1
    return np.linalg.norm(np.cross(v1, v2)) / np.linalg.norm(v1)

def point_in_between(p, l1, l2):
    """
    判断点P是否在线段L之间
    """
    return np.dot(p - l1, l2 - l1) >= 0 and np.dot(p - l2, l1 - l2) >= 0

def line_plane_same_side(l1, l2, p1, p2, p3, q):
    """
    判断直线L和平面P是否在同一侧
    """
    v1 = p1 - q
    v2 = p2 - q
    v3 = p3 - q
    n = np.cross(v1, v2)
    d = np.dot(n, v3)
    dist1 = np.dot(n, l1 - q)
    dist2 = np.dot(n, l2 - q)
    return np.sign(dist1 * d) == np.sign(dist2 * d)

上述代码实现了点到直线距离计算、点是否在直线间、直线和平面是否在同侧三个函数。在实现这些函数时，我们需要使用numpy库中的向量运算，因此需要导入numpy库。这些函数的实现思路和上面的解题思路一致，具体实现过程中，我们需要注意向量的维数和符号的判断。