NCERT解决方案 - 数学第一部分 - 第5章连续性和可微性 - 练习5.5 |设置1

本文为NCERT数学第一部分第5章连续性和可微性的练习5.5第1套题的全面解决方案。

问题1:

证明函数$f(x)=x^3, g(x)=x+1$具有可微性,并求出它们在$x=1$的导数。

解决方案:

我们需要检查函数$f$和$g$是否满足以下条件:

1. 函数$f$和$g$在点$x=1$处连续。
2. 函数$f$和$g$在点$x=1$处有定义。
3. 函数$f$和$g$在点$x=1$处存在导数。

首先，我们可以很容易地验证函数$f$和$g$满足条件1和条件2，因为它们在$x=1$处的值都可以计算，且都是有限的。

接下来，我们需要计算函数$f$和$g$在$x=1$处的导数。

函数$f(x)=x^3$的导数可以通过求导公式计算得出:

$$ \begin{align} f'(x)&=3x^2\ f'(1)&=3*1^2\ &=3 \end{align} $$

函数$g(x)=x+1$的导数可以通过求导公式计算得出:

$$ \begin{align} g'(x)&=1\ g'(1)&=1 \end{align} $$

因此，函数$f$在$x=1$处的导数为3，函数$g$在$x=1$处的导数为1。由此，我们可以得出结论：函数$f$和$g$在$x=1$处具有可微性。

问题2:

证明函数$f(x)=|x|$在$x=0$处不可微。

解决方案:

为了证明函数$f(x)=|x|$在$x=0$处不可微，我们需要证明它不满足以下条件之一:

1. 函数$f$在点$x=0$处不连续。
2. 函数$f$在点$x=0$处没有定义。
3. 函数$f$在点$x=0$处没有导数。

我们可以通过计算函数$f$在$x=0$处的左导数和右导数来证明它不满足条件3。

$$ \begin{align} \text{左导数}&=\lim_{h\to 0^-}\frac{|0-h|-|0|}{h}\ &=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}\ &=-1\ \ \text{右导数}&=\lim_{h\to 0^+}\frac{|0+h|-|0|}{h}\ &=\lim_{h\to 0^+}\frac{h}{h}\ &=1 \end{align} $$

因为函数$f$在$x=0$处的左导数和右导数不相等，所以函数$f$在$x=0$处没有导数。因此，函数$f(x)=|x|$在$x=0$处不可微。

问题3:

证明函数$f(x)=\sqrt{|x|}$不是可微函数。

解决方案:

为了证明函数$f(x)=\sqrt{|x|}$不是可微函数，我们可以采用和上一题类似的方法。我们需要证明它不满足以下条件之一:

1. 函数$f$在点$x=0$处不连续。
2. 函数$f$在点$x=0$处没有定义。
3. 函数$f$在点$x=0$处没有导数。

我们可以通过计算函数$f$在$x=0$处的左导数和右导数来证明它不满足条件3。

$$ \begin{align} \text{左导数}&=\lim_{h\to 0^-}\frac{\sqrt{|0-h|}-\sqrt{|0|}}{h}\ &=\lim_{h\to 0^-}\frac{\sqrt{|-h|}}{h}\ &=\lim_{h\to 0^-}-\frac{1}{\sqrt{|-h|}}\ &=-\infty\ \ \text{右导数}&=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{|0+h|}-\sqrt{|0|}}{h}\ &=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{|h|}}{h}\ &=\lim_{h\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{|h|}}\ &=+\infty \end{align} $$

因为函数$f$在$x=0$处的左导数和右导数没有限制性，并且两者不相等，所以函数$f(x)=\sqrt{|x|}$在$x=0$处没有导数，也就是不是可微函数。

结论

本文提供了对NCERT数学第一部分第5章连续性和可微性的练习5.5第1套题的全面解决方案。该练习的主要目的是帮助读者理解连续性和可微性的概念，并为解决实际问题提供数学工具。在问题1中，我们证明了函数$f(x)=x^3, g(x)=x+1$在$x=1$处具有可微性；在问题2和问题3中，我们证明了函数$f(x)=|x|$和$f(x)=\sqrt{|x|}$在$x=0$处不可微。这些解决方案提供了详细的计算步骤和说明，以帮助读者构建类似的解决方案。