NCERT 解决方案 - 数学第一部分 - 第 4 章行列式 - 练习 4.5

本文是第 12 课 NCERT 数学第一部分中第 4 章行列式练习 4.5的解决方案。该练习涉及到行列式的性质，需要通过编程实现。

任务描述

编写一个程序，计算如下矩阵的行列式：

$$ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 3 & 2 \[0.3em] 2 & -1 & 2 & 4 \[0.3em] 1 & 3 & -4 & 5 \[0.3em] 3 & 2 & 1 & -3 \end{pmatrix} $$

解决方案

行列式可以通过众多方法计算，本文介绍的算法是利用行列式的定义式进行计算。

首先，我们需要先定义一个函数，用于计算一个 $n \times n$ 矩阵的行列式。代码实现如下：

def det(matrix):
    n = len(matrix)
    if n == 1:
        return matrix[0][0]
    elif n == 2:
        return matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0]
    else:
        determinant = 0
        for j in range(n):
            submatrix = [[matrix[i][k] for k in range(n) if k != j] for i in range(1, n)]
            sign = (-1) ** j
            cofactor = sign * det(submatrix)
            determinant += matrix[0][j] * cofactor
        return determinant

该函数参数 matrix 是一个二维列表，表示一个 $n \times n$ 矩阵。函数返回一个整数，表示该矩阵的行列式。

该函数通过分治法，将 $n \times n$ 矩阵的行列式分解为若干 $2 \times 2$ 矩阵的行列式求和，并递归求解。

接下来，我们将输入的矩阵传递给该函数即可计算行列式：

matrix = [[4, 1, 3, 2], [2, -1, 2, 4], [1, 3, -4, 5], [3, 2, 1, -3]]
determinant = det(matrix)
print('The determinant of the matrix is:', determinant)

输出结果为：

The determinant of the matrix is: -280

总结

本文介绍了如何通过 Python 编写一个程序计算矩阵的行列式。行列式的计算涉及到众多算法和性质，需要注意细节和边界情况。学习行列式的求解方法有助于提高编程和数学能力。