第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 11 章微分 - 练习 11.7 |设置 1

简介

RD Sharma是印度著名的数学家和作者，他的数学书籍被广泛用于印度高中数学教育。本文是RD Sharma数学书中第11章微分中的练习11.7的解决方案，包含了第1个设置的解答。

内容

问题描述

证明下列函数在指定的点可导，并求其导数：

1. $ f(x)=|x-1|+|2x-5|, x=2 $
2. $ f(x)= \left{ \begin{aligned} 2x, & x<0 \ x^2, & x \geq 0 \end{aligned} \right., x=0$
3. $ f(x)= \left{ \begin{aligned} x^3+1, & x \leq 1 \ ax^2+bx+c, & 1< x\leq2 \ x^3, & x>2 \end{aligned} \right., x=1 $
4. $ f(x)= \left{ \begin{aligned} e^x, & x \leq 0 \ ax^2+bx+c, & 0< x\leq1 \ 4-x, & x>1 \end{aligned} \right., x=0 $

解答

问题1

当 $ x \geq 1 $ 时， $ f(x)=(x-1)+(2x-5)=3x-6 $ ，因此 $ f'(2)=3 $ 。

当 $ 1>x \geq \frac{5}{2} $ 时， $ f(x)=(x-1)+(5-2x)=4-x $ ，因此 $ f'(2)=-2 $ 。

当 $ \frac{5}{2}>x>1 $ 时， $ f(x)=-(x-1)+(5-2x)=-3x+4 $ ，因此 $ f'(2)=-3 $ 。

因此 $ f(x) $ 在 $ x=2 $ 处可导， $ f'(2)=-3 $ 。

问题2

当 $ x<0 $ 时， $ f'(x)=2 $ 。

当 $ x \geq 0 $ 时， $ f'(x)=2x $ 。

由于 $ \lim\limits_{x \to 0^-} f'(x)=\lim\limits_{x \to 0^+} f'(x)=0 $ ，因此 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处可导， $ f'(0)=0 $ 。

问题3

由于 $ f(x) $ 在 $ x=1 $ 处连续，因此 $ f'(1) $ 必然存在。

当 $ x \leq 1 $ 时， $ f'(x)=3x^2 $ ，因此 $ f'(1)=3 $ ；

当 $ 1< x\leq2 $ 时， $ f(x) $ 的导数为 $ f'(x)=2ax+b $ ，由于 $ f(x) $ 在 $ x=1 $ 处连续，因此 $ ax^2+bx+c $ 在 $ x=1 $ 处的导数为 $ 3 $ 。

当 $ x>2 $ 时， $ f'(x)=3x^2 $ ，因此 $ f'(1)=3 $ ；

由此， $ f(x) $ 在 $ x=1 $ 处可导， $ f'(1)=3 $ 。

问题4

当 $ x \leq 0 $ 时， $ f'(x)=e^x $ ，因此 $ f'(0)=1 $ ；

当 $ 0< x\leq1 $ 时， $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处连续，因此 $ ax^2+bx+c $ 在 $ x=0 $ 处的导数为 $ 1 $ 。

当 $ x>1 $ 时， $ f'(x)=-1 $ ，因此 $ f'(0)=-1 $ 。

由此， $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处不可导。