介绍：第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 11 章微分 - 练习 11.2 |设置 3

本文介绍的是第 12 类 RD Sharma 解决方案中的第 11 章微分 练习 11.2 的第 3 套题解。此解决方案适用于所有需要学习微分的人群。在学习微分的时候，理解微分的基本概念和技巧非常重要。

解决方案

此解决方案由专业的数学老师编写，涵盖了微分的多个主题。我们将为您提供清晰的解释和详细的步骤。以下是本节中的问题和解决方案。

问题

证明以下函数满足给定条件。

$f(x)=$ $ \begin{cases} sin^3\frac{1}{x}& x\neq 0\ 0& x=0 \end{cases} $ , $f'(0)=0$, $f''(0)=0$

解决方案

首先，我们需要计算 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。

$f'(x)=(sin^3\frac{1}{x})'$ $=3sin^2\frac{1}{x}\cdot cos\frac{1}{x}\cdot \frac{-1}{x^2}$ $=\frac{-3}{x^2}sin^2\frac{1}{x}cos\frac{1}{x}$

$f''(x)=(\frac{-3}{x^2}sin^2\frac{1}{x}cos\frac{1}{x})'$ $=\frac{6}{x^3}sin\frac{1}{x}cos^3\frac{1}{x}-\frac{6}{x^3}sin^3\frac{1}{x}cos\frac{1}{x}$ $=\frac{6}{x^3}sin\frac{1}{x}cos\frac{1}{x}(cos^2\frac{1}{x}-sin^2\frac{1}{x})$

注意到 $f'(x)$ 和 $f''(x)$ 在 $x=0$ 处的极限都为 $0$，因此 $f'(0)=0$ 和 $f''(0)=0$。

$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ $=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^3\frac{1}{x}}{x}$ $=0$

$f''(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}$ $=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{-3}{x^2}sin^2\frac{1}{x}cos\frac{1}{x}$ $=0$

因此，我们证明了函数 $f(x)$ 满足给定条件。

结论

本文介绍了第 12 类 RD Sharma 解决方案中的第 11 章微分练习 11.2 的第 3 套题解。我们提供了清晰的解释和详细的步骤，希望对您的微分学习有所帮助。