门| GATE CS 2019 |简体中文问题18

这是 GATE 计算机科学考试 2019 年的第 18 道题。这道题涉及四个主题：树、算法复杂度、分治算法和二分搜索。以下是具体的介绍。

题目描述

给定一个有根树 G，标记为 0 到 n-1，以及它的一些属性，如每个节点的颜色和每个节点是否已标记。现在，请设计一个算法，找到与根节点标记为 0 不同颜色的节点中编号最小的已标记节点。

解题思路

该问题可以通过分治算法和二分搜索来解决。考虑从根节点开始，找到与根节点颜色不同的最小编号的已标记节点。如果在子树中找到，则继续在该子树中搜索。否则，在其他子树中递归查找。我们可以使用类似二分搜索的方法来实现。

• 首先，将树分为左子树和右子树。左子树包含颜色与根节点颜色不同的节点，右子树包含颜色与根节点颜色相同的节点。
• 如果左子树为空，则返回右子树中的最小编号节点。
• 如果左子树非空，则继续在左子树中递归查找。

因为每次递归只处理左子树或右子树之一，所以算法的时间复杂度为 O(log n)。

代码实现

以下是实现该算法的 Python 代码：

def find_min_marked_node(root):
    # 如果根节点已标记，则返回它
    if root.marked:
        return root.id
    
    # 左子树包含颜色与根节点颜色不同的节点
    left_subtree = []
    for child in root.children:
        if child.color != root.color:
            left_subtree.append(child)
    # 排序 left_subtree 
    left_subtree.sort(key=lambda x: x.id)
    
    if not left_subtree:
        # 如果左子树为空，则返回右子树中的最小编号节点
        return find_min_marked_node(min(root.children, key=lambda x: x.id))
    else:
        # 否则，在左子树中递归查找
        return find_min_marked_node(left_subtree[0])

其中，root 是树的根节点，root.id 返回节点的编号，root.marked 返回节点是否已标记，root.color 返回节点的颜色，root.children 返回一个列表，列表中包含节点的所有子节点。