RD Sharma解-第4章逆三角函数–练习4.1

本节内容为RD Sharma解第4章逆三角函数中的练习4.1，是涵盖反正弦、反余弦、反正切及其基本性质的一节。本练习共有15道题目，涵盖了范围、图像、函数值、特殊角度下的运算以及化简公式等多个方面，能够全面提升同学们的数学水平。

除了题目外，本章还对逆三角函数的定义、性质、函数图像等进行了详细的讲解，理论知识相当丰富。感兴趣的同学还可以参阅相关的前置知识，如三角函数、三角恒等式等，对理解逆三角函数的概念和应用也有很大的帮助。

以下是一些具有代表性的题目和解题思路：

1. 若 $x\in[-1,1]$，求 $\arccos(\cos x)$ 的值。

解题思路：根据反余弦函数的定义和性质，可知 $\arccos(\cos x)=\pi-\left|x-\dfrac{\pi}{2}\right|$。由于 $x\in[-1,1]$，因此 $\cos x$ 也在 $[-1,1]$ 的范围内，故 $\cos x$ 可表示为 $\cos x=\cos(\pm y)$，其中 $y\in[0,\pi]$。因此，对于不同的 $x$，可以分别有以下形式的解：

• 当 $x\in[0,\pi/2]$ 时，$\cos x=\cos y$，故 $\arccos(\cos x)=\pi-x$。
• 当 $x\in(\pi/2,\pi]$ 时，$\cos x=-\cos y$，故 $\arccos(\cos x)=\pi+x$。
• 当 $x\in[-\pi/2,0]$ 时，$\cos x=\cos(-y)$，故 $\arccos(\cos x)=x+\pi$。
• 当 $x\in[-\pi,-\pi/2)$ 时，$\cos x=-\cos(-y)$，故 $\arccos(\cos x)=-x$。

综合以上解法，可以得到 $\arccos(\cos x)=\pi-\left|x-\dfrac{\pi}{2}\right|$。

5. 若 $\tan(2\arccos x)=\dfrac{19}{21}$，则 $x$ 的值为多少？

解题思路：将 $\tan(2\arccos x)$ 转化为 $\sin$ 和 $\cos$ 的形式，即 $\tan(2\arccos x)=\dfrac{2\sin(\arccos x)\cos(\arccos x)}{\cos^2(\arccos x)-\sin^2(\arccos x)}$。由于 $\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$，$\cos(\arccos x)=x$，$\cos^2(\arccos x)=x^2$，$\sin^2(\arccos x)=1-x^2$，有：

$\tan(2\arccos x)=\dfrac{2x\sqrt{1-x^2}}{x^2-(1-x^2)}=\dfrac{2x\sqrt{1-x^2}}{2x^2-1}$

将题目中的 $\tan(2\arccos x)$ 带入，可得：

$\dfrac{2x\sqrt{1-x^2}}{2x^2-1}=\dfrac{19}{21}$

化简后得到一个关于 $x$ 的二次方程，解出 $x$ 即可。

10. 若 $x\in(0,\dfrac{\pi}{2})$，求 $\dfrac{\sin(\arctan x)+\cos(\arctan x)}{\cos(\arctan x)-\sin(\arctan x)}$ 的值。

解题思路：首先需要将 $\sin(\arctan x)$ 和 $\cos(\arctan x)$ 表示成 $x$ 的形式。由于 $\tan(\arctan x)=x$，因此可以得到：

$\tan(\arctan x)=x=\dfrac{\sin(\arctan x)}{\cos(\arctan x)}$

移项并整理，得到：

$\sin(\arctan x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}},\quad\cos(\arctan x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

将以上结果代入原式中，可以得到：

$\dfrac{\sin(\arctan x)+\cos(\arctan x)}{\cos(\arctan x)-\sin(\arctan x)}=\dfrac{\dfrac{x+1}{\sqrt{1+x^2}}}{\dfrac{1-x}{\sqrt{1+x^2}}}=\dfrac{x+1}{1-x}$

由此得到原式答案为 $\dfrac{x+1}{1-x}$。

以上是本文对 RD Sharma 解-第4章逆三角函数–练习4.1 的简要介绍及部分题目的解题思路，希望对大家的学习有所帮助。