第12类RD Sharma解–第19章不定积分–练习19.23 |套装1

简介

本题集是RD Sharma的第12类解中第19章（不定积分）练习19.23的解答。这道题主要是考察学生对不定积分的掌握和应用。在本套装中，你将找到题目的详细解答和步骤，帮助你理解并解决这道题。

题目描述

计算下列不定积分。

$\int\frac{1}{e^x+1},\mathrm{d}x$

解答步骤

为了计算所给不定积分，我们将使用部分分式技巧。

步骤1：将分母 $e^x+1$ 分解为两个一次式。

$e^x+1 = (e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}})(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}+1)$

步骤2：将原式中的分子拆为两个部分。

$\frac{1}{e^x+1} = \frac{1}{2(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}})}\left[\frac{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}+1}\right]+\frac{1}{2(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}})}\left[\frac{1}{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}+1}\right]$

步骤3：对每个分式进行积分。

$I_1 = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}{2(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}})(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}+1)},\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int \frac{1}{t-1},\mathrm{d}t-\frac{1}{2}\int \frac{1}{t+1},\mathrm{d}t+\int\frac{1}{t^2+1},\mathrm{d}t$

$I_2 = \int \frac{1}{2(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}})(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}+1)},\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int \frac{1}{t-1},\mathrm{d}t+\frac{1}{2}\int \frac{1}{t+1},\mathrm{d}t-\int\frac{1}{t^2+1},\mathrm{d}t$

步骤4：代回原式。

$\int\frac{1}{e^x+1},\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}-1}{e^{\frac{x}{2}}+1}\right)+\arctan(e^{\frac{x}{2}})+ C$

其中，$C$ 是常数。

结论

通过使用上述步骤，我们可以计算不定积分$\int\frac{1}{e^x+1},\mathrm{d}x$ 的解答。如果你还是没有理解，可以多看几遍，多做几个类似的题目，熟能生巧。