RD Sharma 解决方案 - 第 12 章三角函数的一些应用 - 练习 12.1 |设置 3

本题集是RD Sharma的'三角函数的一些应用'章节中的第十类问题的练习。本章的目的是让读者了解斜线的概念以及它们在几何学和矩阵代数中的应用。

代码示例

以下是练习 12.1 |设置 3 的代码示例：

### 练习 12.1 |设置 3

1. 求出$x$的最大值，以便下面的函数定义是正弦函数：

   $\sin x + \sin 2x \geq 1, 0 \leq x \leq 90^{\circ}$

   **解决方案：**

   我们知道，$\sin x + \sin y = 2\sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$。因此，

   $\sin x + \sin 2x = 2\sin \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2}$

   当$\sin \frac{3x}{2} \geq 0$时，上式为正数，同时当$\cos \frac{x}{2} > 0$时，上式也为正数。因此，我们需要找到$x$的最大值，以便$\sin \frac{3x}{2}$和$\cos \frac{x}{2}$均为非负数。注意到$\sin \frac{3x}{2}$在$x=60^{\circ}$和$x=90^{\circ}$处取得最大值1，$\cos \frac{x}{2}$在$x=0^{\circ}$和$x=90^{\circ}$ 处取得最大值1。因此，$x$的最大值为$60^{\circ}$。

   因此，我们可以定义正弦函数如下：

   $f(x) = \begin{cases} \sin x + \sin 2x, & \text{if } 0^{\circ} \leq x \leq 60^{\circ}\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

   示意图如下：

   ![sine graph](https://img-blog.csdn.net/20171023164959085?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvaG9uZzkwNzc1NDExNjU2/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/85)

   答案已给出。

2. 计算以下式子的值：

   $A = \frac{\sin^{2} 10^{\circ} + \sin^{2} 50^{\circ}}{\sin 40^{\circ} \sin 20^{\circ}}$

   **解决方案：**

   我们知道，

   $\sin^{2} \theta + \sin^{2} (\frac{\pi}{2} - \theta) = 1$

   因此，

   $\sin^{2} 10^{\circ} + \sin^{2} 80^{\circ} = 1$

   同时，根据正弦函数的定义，

   $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$

   因此，

   $\sin 40^{\circ} = 2\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}$

   因此，

   $A = \frac{\sin^{2} 10^{\circ} + \sin^{2} 80^{\circ}}{2\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ} \sin 20^{\circ}}$

   $= \frac{\sin^{2} 10^{\circ} + \cos^{2} 10^{\circ}}{2\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ} \sin 20^{\circ}}$

   $= \frac{1}{2\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$

   $= \frac{1}{\sin 40^{\circ}}$

   $= 2$

   答案为2。

总结

本题集着重介绍了三角函数的一些应用，如斜线的概念及其在几何学和矩阵代数中的应用。读者可根据题目需求灵活运用三角函数的相关性质，对问题进行求解。