三角学

什么是三角学？

三角学是数学学科的一部分，主要研究三角形及其性质、三角函数以及它们的应用。在计算机科学领域中，三角学常常用于图形学、计算机视觉、游戏开发等领域，是非常重要的基础知识。

三角函数

三角函数是三角学中的重要概念，其中最常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。通过三角函数，我们可以对三角形的角度和边长进行计算。以下是它们的定义和一些重要性质：

正弦函数

正弦函数被定义为一个角的对边长度与斜边长度之比，即： $$\sin\theta=\dfrac{Opposite}{Hypotenuse}$$

正弦函数的定义域为 $[-1, 1]$，它是一个奇函数，即 $\sin(-\theta)=-\sin\theta$。

余弦函数

余弦函数被定义为一个角的邻边长度与斜边长度之比，即： $$\cos\theta=\dfrac{Adjacent}{Hypotenuse}$$

余弦函数的定义域也为 $[-1, 1]$，它是一个偶函数，即 $\cos(-\theta)=\cos\theta$。

正切函数

正切函数被定义为一个角的对边长度与邻边长度之比，即： $$\tan\theta=\dfrac{Opposite}{Adjacent}$$

正切函数的定义域为 $(-\infty, \infty)$，它是一个奇函数，即 $\tan(-\theta)=-\tan\theta$。但是注意到 $\theta$ 不能等于 $\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)$，否则分母为 $0$。

三角函数的重要性质

除了上面的定义之外，三角函数还有很多重要的性质，以下是其中一些：

• $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，这是三角恒等式之一；
• $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$，$\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}$，$\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$；
• $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$，$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$，这些是三角和差公式；
• $\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$，这是三角切公式。

应用

三角学在计算机科学中的应用非常广泛，其中主要有以下几个方面：

• 计算机图形学，如三维模型渲染、视角变换等；
• 计算机视觉，如图像识别、目标跟踪等；
• 游戏开发，如游戏物理引擎的实现。

了解三角函数的定义、性质和应用，对于从事上述领域的程序员非常重要。