10类NCERT解决方案-第9章三角学的某些应用–练习9.1 |套装1

问题1.马戏团的一位艺术家正在攀爬一条20 m长的绳索，该绳索被紧紧地拉紧并从垂直杆的顶部绑到地面。如果绳索与地面的夹角为30°，则求出杆的高度(见图)。

解决方案：

In rt ∆ABC,

AB = pole = ?

AC = rope = 20m

sinθ = $\frac{P}{H}$

sin30° = $\frac{AB}{AC}$

AB = 1/2 * 20

AB = 10m

Height of pole = 10m

问题2。由于暴风雨而折断的树，折断的部分弯曲，使树的顶部与地面接触，与地面成30度角。树木的脚到顶部接触地面的距离为8 m。找到树的高度。

解决方案：

In rt ∆ABC,

BC = 8m

$\frac{P}{B} = \frac{AB}{BC}$ = tan30°

$\frac{AB}{BC}$ = 1/√3

AB = 8/√3          -(1)

Now,

$\frac{BC}{ AC}$ = cos30°

8/AC = √3/2

√3AC = 16  

AC = 16/√3           -(2)

From (1) and (2)

Height of tree = AB + AC

= 8/√3 * 16√3

= 8√3 m

8 * 1.73 = 13.84m

The height of the tree is 13.84  

问题3.承包商计划安装两张幻灯片，供孩子们在公园玩耍。对于5岁以下的孩子，她更喜欢滑梯，其顶部的高度为1.5 m，并且与地面倾斜30°，而对于较大的孩子，她希望陡峭的滑梯高度为3 m，并与地面倾斜60°。每种情况下幻灯片的长度应该是多少?

解决方案：

In rt ∆ABC,

AB = 1.5m

AC = side = ?

$\frac{P}{H} = \frac{AB}{AC}$ = sin30°

1.5/AC = 1/2

AC = 1/5 * 2

AC = 3m

In rt ∆PQR,

PQ = 3m

PR = side = ?

$\frac{P}{H} = \frac{PQ}{PR}$ = sin60°

3/PR = √3/2

√3 PR = 6  

PR = 6/√3

6/√3 * √3/√3

= 2√3

= 2 * 1.73

= 3.46m

问题4.塔的顶部与地面上某个点的仰角为30°，该点与地面的点相距30 m。找到塔的高度。

解决方案：

In rt ∆ABC,

AB = tower = ?

BC = 30m

$\frac{P}{B} = \frac{AB}{BC}$ = tan30°

AB/30 = 1/√3

AB = 30/√3

AB = 30/√3 * √3/√3  

= (30√3)/3 = 10√3  

= 10 * 1.73  

= 17.3m  

The height of tower 17.3m  

问题5.风筝在离地面60 m的高度飞行。连接到风筝的字符串被暂时绑在地面上的一个点。字符串与地面的倾斜度为60°。查找字符串的长度，假设有字符串中没有松弛。

解决方案：

In rt ∆ABC,

AB = 6Om

AC = string = ?

$\frac{P}{H} = \frac{AB}{AC}$= sin60°

60/AC = √3/3

√3 AC = 60 * 2  

AC = 120/120/(√3) * √3/√3

120/√3 * √3/√3  

40 = √3  

40 * 1.73 = 69.20m

Length of the string is 69.20m

问题6.一个1.5 m高的男孩正站在30 m高的建筑物的某个距离处。当他走向建筑物时，从他的眼睛到建筑物顶部的仰角从30°增加到60°。找到他走向建筑物的距离。

解决方案：

In fig AB = AE – 1.5

               = 30 – 1.5

              = 28.5

In rt ∆ABD,

$\frac{P}{B} = \frac{AB}{BD}$ = tan30°

= 28.5/BD = 1/√3

BD = 28.5√3           -(1)

In rt ∆ABC,

$\frac{P}{B} = \frac{AB}{BC}$ = tan60°

28.5/BC*√3  

√3 BC = 28.5

BC = 28.5/√3          -(2)   

CD = BD − BC

= 28.5√3 – 28.5/√3          

= 28.5(2/√3)        

57/√3 * √3/√3 = (57√3)/3 = 19√3  

19 * 1.73 = 32.87m

The boy walked 32.87m towards the building.

问题7.从地面上的某个点来看，固定在20 m高建筑物顶部的输电塔的底部和顶部的仰角分别为45°和60°。找到塔的高度。

解决方案：

In fig:

AB = tower = ?

BC = building = 20m

In rt ∆BCD

$\frac{P}{B} = \frac{BC}{CD}$ = tan45°

20/CD = 1/1

CD = 20

In rt. ∆ACD,

$\frac{P}{B} = \frac{AC}{CD}$= tan60°

AC/20 = √3/1

AC = 20√3           -(1)   

AB = AC-BC

20√3 – 20

20(√3 – 1)

20(1.732 – 1)

20(0.732)

14.64m

The height of the tower is 14.6m  

问题8.一个高1.6 m的雕像站在基座的顶部。从地面上的某个点开始，雕像顶部的仰角为60°，从同一点开始，底座的顶部仰角为45°。找到基座的高度。

解决方案：

In fig: AB = statue = 1.6m

BC = pedestal = ?

In rt ∆ACD

$\frac{P}{B} = \frac{AC}{CD}$ = tan60°

1.6 + BC/CD = √3

√3 CD = 1.6 + BC

CD = 1.6+BC/√3           -(1) 

In rt ∆BCD,  

$\frac{BC}{CD}$ = tan45°  

$\frac{BC}{CD}$ = 1/1  

CD = BC

From (1) 

1.6 + BC/√3 = BC/1

√3 BC = 1.6 + BC  

1.732 BC – 1 BC = 1.6

0.732 * BC = 1.6

BC = 1.6/0.732

BC = 16/10 * 100/732 = 1600/732

BC = 2.18m

Height of pedestal is 2.18m  

问题9.建筑物顶部相对于塔底高度的仰角为30°，而建筑物顶部相对于塔底高度的仰角为60°。如果塔高为50 m，请找到建筑物的高度。

解决方案：

In fig:

AB = tower = 50m

DC = building = ?

In rt.∆ABC,

$\frac{P}{B} = \frac{AB}{BC}$ = tan60°

√3 BC = 50  

BC = 50/√3

In rt. ∆DCB

$\frac{P}{B} = \frac{DC}{BC}$ = tan30° 

$\frac{P}{B} = \frac{DC}{\frac{50}{√3}}$ = 1/√3  

DC = 50/√3

DC = 50/√3 * 1/√3  

DC = 50/3

DC = $16\tfrac{2}{3}$

The height of the building is $16\tfrac{2}{3}$m

问题10.等高的两根电线杆在道路的两侧彼此相对，高度为80 m。从道路上的两点之间，两极顶部的仰角分别为60°和30°。找到极点的高度以及点到极点的距离。

解决方案：

AB and CD on equal poles.

Let their height = h

Let DP = x

Then PB = BD – x

In rt. ∆CDP,

$\frac{P}{B} = \frac{CD}{DP}$ = tan60°

h/x = √3/1

h = √3 x           -(1)

In rt. ∆ABP

$\frac{P}{B} = \frac{AB}{BP}$ = tan30°

h/(80 – x) = 1/√3

h = (80 – x)/√3          -(2)

From (1) and (2)

(√3 x)/1 = 80 – x/√3  

3x = 80 – x

3x + x = 80

4x = 80

X = 80/4

X = 20

Putting values of X in equation 1

h = √3 x

h = √3(20)

h = 1.732(20)

h = 34.640

Height of each pole = 34.64m

The point is 20m away from first pole and 60m away from second pole.

第9章三角学的某些应用–练习9.1 |套装2