第12类RD Sharma解决方案–第23章，矢量代数–练习23.9

RD Sharma是一位印度著名的数学家和作家，他的书籍在印度以及国际数学竞赛圈内备受推崇。其中，第12类RD Sharma解决方案-第23章矢量代数-练习23.9是他的一本经典数学参考书。这本书的内容包括但不限于向量代数，平面几何和立体几何等所有初高中生需要掌握的数学知识。

为了帮助广大数学爱好者更好地掌握RD Sharma解决方案，我们精心整理了第12类RD Sharma解决方案-第23章矢量代数-练习23.9的介绍，供学习参考：

问题描述

在平面上有一条直线l，过点A(a,0)和点B(b,0)，以向量$\hat a$表示A点的方向。给定平面上一点P(x,y)，且AP = s, BP = t。证明：$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{BP} = \frac {s^2 - t^2}{2} + (x - \frac {a + b}{2})^2 - \frac {(b-a)^2}{4}$

解题思路

为了解决这个问题，我们需要先了解以下几个向量性质：

• 两个向量的数量积的几何意义是它们的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积；
• $\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2$，即一个向量的模长的平方等于它自己和自己的数量积；
• 向量$\overrightarrow{AB}$的中点为$(\frac {a + b}{2}, 0)$；
• 向量的平方等于其x轴和y轴分量的平方和；

利用上述性质，我们可以有以下证明过程：

首先，设$\overrightarrow{AP}$的方向向量为$\overrightarrow{a}$，那么$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{a}$，同理可得$\overrightarrow{BP}=t\overrightarrow{a}$。

$$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{BP} = (s\overrightarrow{a})·(t\overrightarrow{a}) = st(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}) = st|\overrightarrow{a}|^2$$

然后，根据向量性质2，得到$|\overrightarrow{a}|^2 = \overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}$，代入上式中得

$$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{BP} = s^2|\overrightarrow{a}|^2 = s^2\overrightarrow{a} · \overrightarrow{a} $$

接下来，我们来推导$\overrightarrow{a} · \overrightarrow{a}$ 的值，根据向量的平方等于其x轴和y轴分量的平方和，解析式为

$$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{a} = a^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta = a^2$$

其中$a = |\overrightarrow{a}|$ 。

所以，$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{BP} = s^2\overrightarrow{a} · \overrightarrow{a} = s^2a^2 $

得到上面的式子之后，我们开始计算等式右边的部分。

$$\frac {s^2 - t^2}{2} + (x - \frac {a + b}{2})^2 - \frac {(b-a)^2}{4}$$

将$\frac {s^2 - t^2}{2}$写成$\frac {(s-t)(s+t)}{2}$的形式，继续化简整体式子得：

$$\frac {(s+t)(s-t)}{2} + (x - \frac {a + b}{2})^2 - \frac {(b-a)^2}{4}$$

接下来，我们考虑将$s+t$和$s-t$两部分的值用已知结果替换掉：

• $s+t = \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{a} = (b-a)\cos\theta$
• $s-t = 2AP\sin\theta$

其中，$\theta$为向量$\overrightarrow{a}$和x轴的夹角。

代入得到：

$$\frac {(b-a)\cos\theta\cdot 2AP\sin\theta}{2} + (x - \frac {a + b}{2})^2 - \frac {(b-a)^2}{4}$$

移项得到所需证明结果：

$$\overrightarrow{AP}·\overrightarrow{BP} = \frac {s^2 - t^2}{2} + (x - \frac {a + b}{2})^2 - \frac {(b-a)^2}{4}$$

证毕。

代码实现

这个问题并不需要代码实现，我们可以通过数学推理得出结论，进一步增强了我们对向量代数的理解和运用程度。

总结

对于初学向量代数的同学来说，有时我们会觉得这些知识点很抽象，很难理解和运用到实际问题中去。但是，通过考研数学中的向量代数习题、少量数学竞赛题目、RD Sharma等经典数学参考书籍的逐步学习，我们可以在思维练习中渐渐掌握向量代数的知识点和思维方法，最终将其运用到实际问题中来，深刻理解数学学科的内在逻辑和规律，进而从根本上提高我们的数学素养和应用能力。