RD Sharma第12类解决方案-第23章，矢量代数-练习23.6|套装1

RD Sharma是印度最著名的数学家之一，他的数学书籍都很受欢迎，也为学生提供了很多帮助。他的书《RD Sharma Solution Class 12》旨在帮助学生提高数学知识，特别是在代数方面。

第23章，矢量代数，涵盖在这个书上的矢量代数概念，则很实用，看到的第一件事是“向量代数”的概念，接着介绍了向量在空间中的表示和运算，然后进一步介绍了矢量乘积和量积的概念，面向各种难度的练习题和上述概念相关的实用测试和例子。因此，这些章节将帮助提高理解和数学技能的能力。

接下来，我们将关注其中的第23.6节，名为“套装1”，并提供RD Sharma解决方案的介绍。

练习23.6 - 套装1

在这个练习中，我们将学习关于矢量的以下内容：

• 定义向量
• 向量的类型
• 向量的运算

这些概念将帮助您在代数方面打好基础。

我们将使用以下问题来介绍这些概念。

问题1

如果$\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$，$\vec{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$和$\vec{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$时，求$(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c}$。

解答

首先，我们需要找到$\vec{a} + \vec{b}$，它是：

$$ \vec{a} + \vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} + 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}\ = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k} $$

现在，我们可以求出$(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c}$：

$$ (\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \3 & -2 & 2 \1 & -2 & 4\end{vmatrix} $$

计算行列式得：

$$ (\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = 6\hat{i} - 14\hat{j} - 8\hat{k} $$

因此，$(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = 6\hat{i} - 14\hat{j} - 8\hat{k}$。

问题2

如果$\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$，$\vec{b} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + \hat{k}$和$\vec{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$时，求$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$。

解答

首先，我们需要找到$\vec{a} \times \vec{b}$，它是：

$$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \1 & -2 & 1 \3 & -5 & 1\end{vmatrix} $$

计算行列式得：

$$ \vec{a} \times \vec{b}= -3\hat{i} - 2\hat{j} - 7\hat{k} $$

现在，我们可以求出$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$：

$$ (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}= \begin{pmatrix}-3 \ -2 \ -7\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 \ 2 \ -1\end{pmatrix} \ = -3(1) - 2(2) + (-7)(-1) \ = 2 $$

因此，$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 2$。

总结

在这个练习中，我们学习了向量的定义、类型和运算。这些概念是代数的基础，有助于建立出色的数学技能，让我们更好地理解和应用代数中的概念。希望这些解决方案将帮助您更好地理解和掌握矢量代数。