RD Sharma解决方案–第23章直线-练习23.12 |套装2

简介

RD Sharma解决方案–第23章直线-练习23.12 |套装2是一本高中数学教材的解决方案，适用于学生、老师和自学者。该教材主题为直线，是高中数学课程中一个重要且基础的主题。在这本教材中，学生将学习到直线的基本概念，方程和性质。

本套装2中第23章直线的练习23.12主要包含对直线的垂直平分线的概念、性质和应用的讲解。

功能

本解决方案提供了RD Sharma解决方案的第23章练习23.12的详细解释，以帮助学生更好地理解和掌握该主题，同时也提供了一系列的习题和解决方案，以帮助学生检验自己的学习成果和提高数学解题能力。

使用方法

本教材可在线访问或下载PDF版本，对于学生、老师和自学者来说都是一个很好的资源。除此之外，本教材也适用于在线学习，尤其适合在家自学的学生。

示例

### 23.12 直线的垂直平分线

1. 直线的垂直平分线是什么？

   直线的垂直平分线是与这条直线垂直相交，将这条直线平分为两部分的直线。

2. 垂直平分线有哪些性质？

   * 垂直平分线上任意两点到这条直线的距离相等。
   * 垂直平分线上的点到这条直线的距离相等。
   * 垂直平分线将这条直线分为两半。

3. 如何求一个线段的垂直平分线？

   * 作出这条线段的中垂线，中垂线即为该线段的垂直平分线。
   * 将该线段的两个端点分别作为圆心，线段长度的一半为半径作两个圆，两圆的交点即为该线段的垂直平分线的中点。然后再作中垂线即可。

4. 应用题：

   如图，在三角形ABC中，AD是BC的垂线，E是AC的中点，F是BC上的一点。
   证明：EF是AD的垂直平分线。

   解：首先我们需要知道三角形的垂心：
   垂心：一个三角形的三条高交于一点，该点称为该三角形的垂心。

   由于AD是BC的垂线，BD = DC，所以$\angle ABC = \angle ACB$，即$\triangle ABC$是等腰三角形。

   根据E是AC的中点，可以得知AE = EC，并且EF // BC, 所以$\triangle ABF \sim \triangle AEC$。

   $\because$ ABF的底边BF = AEC的底边EC
   $\therefore$ ABF和AEC的高相等，也就是BF = AE

   $\because$ ABF和AEC是相似的，可以得到$\angle AEC = \angle ABF$
   $\because$ $\triangle ABF$是等腰三角形，可以得到$\angle AFB = \angle ABF$

   因此，$\angle AEC = \angle AFB$，所以AE和BF相交于一个点G，这个点也是三角形ABC的垂心。

   只需要证明EF是AD的垂直平分线，就可以应用垂心定理了。

   显然，$\triangle AEF$和$\triangle AGF$是相似的
   $\because$ $\angle FAE = \angle GAF = 90^{\circ}$
   $\therefore$ $\angle AEF = \angle AGF$
   $\because$ $EF \parallel BC$
   $\therefore$ $\angle FBC = \angle EFC = \angle EFA$
   $\because$ $\triangle AEF \sim \triangle AGF$
   $\therefore$ $\angle AFE = \angle AGF$
   $\therefore$ $\angle EFA = \angle AEF$

   可以得到，$\angle AEF = \angle EFA$
   也就是说，EF垂直平分AD。