第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 6 章行列式 - 练习 6.2 |设置 1

概述

本篇RD Sharma解决方案，是第12类RD Sharma的第6章行列式中第6.2节练习的解答，本次练习是关于行列式求值的特殊情况，即 n 阶范德蒙德行列式。本文为大家提供详细的解答过程，方便学生们学习和练习。

解答

问题描述

如果 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 是 $n$ 个不同实数，证明以下范德蒙德行列式：

$$\begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix}$$

可以通过以下形式确定：

$$\prod_{i=1}^{n-1}\prod_{j=i+1}^{n} (a_j-a_i)$$

解决方案

要证明这个范德蒙德行列式，我们可以利用行列式的展开。我们首先通过行操作将行列式通过上三角化，即：

$$\begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \ 0 & a_2-a_1 & a_2^2-a_1^2 & \cdots & a_2^{n-1}-a_1^{n-1} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & a_n-a_1 & a_n^2-a_1^2 & \cdots & a_n^{n-1}-a_1^{n-1} \end{vmatrix}$$

然后，我们通过对矩阵的第一列做展开，即：

$$\begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \ 0 & a_2-a_1 & a_2^2-a_1^2 & \cdots & a_2^{n-1}-a_1^{n-1} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & a_n-a_1 & a_n^2-a_1^2 & \cdots & a_n^{n-1}-a_1^{n-1} \end{vmatrix} = (a_2-a_1)(a_3-a_1)\cdots(a_n-a_1) \cdot \begin{vmatrix} a_2-a_1 & a_2^2-a_1^2 & \cdots & a_2^{n-1}-a_1^{n-1} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_n-a_1 & a_n^2-a_1^2 & \cdots & a_n^{n-1}-a_1^{n-1} \end{vmatrix}$$

由于范德蒙德行列式是递归定义的，我们可以继续对子矩阵做相同的操作：

$$\begin{vmatrix} a_2-a_1 & a_2^2-a_1^2 & \cdots & a_2^{n-1}-a_1^{n-1} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_n-a_1 & a_n^2-a_1^2 & \cdots & a_n^{n-1}-a_1^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{i=1}^{n-2}(a_{i+2}-a_1) \cdot \begin{vmatrix} a_2-a_1 & a_2^2-a_1^2 & \cdots & a_2^{n-2}-a_1^{n-2} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n-1}-a_1 & a_{n-1}^2-a_1^2 & \cdots & a_{n-1}^{n-2}-a_1^{n-2} \end{vmatrix}$$

我们可以重复这个过程，直到我们得到一个一维行列式：

$$\begin{vmatrix} a_n-a_1 & a_n^2-a_1^2 & \cdots & a_n^{n-1}-a_1^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{i=1}^{n-1}(a_n-a_i)$$

将上面的结果带回前面的公式中，得到：

$$\begin{aligned} & \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix} \ =& (a_2-a_1)(a_3-a_1)\cdots(a_n-a_1) \cdot \prod_{i=1}^{n-2}(a_{i+2}-a_1) \cdots \prod_{i=1}^{n-1}(a_n-a_i) \ =& \prod_{i=1}^{n-1}\prod_{j=i+1}^{n} (a_j-a_i) \end{aligned}$$

证毕。

总结

通过行列式的展开，我们证明了范德蒙德行列式可以表示成形如 $\prod_{i=1}^{n-1}\prod_{j=i+1}^{n} (a_j-a_i)$ 的形式。这个结果可以用于计算和证明范德蒙德行列式的性质，是行列式理论的重要应用之一。