RD Sharma 解决方案 - 第 6 章行列式 - 练习 6.2 |设置 3

简介

RD Sharma 是一本供高中学生使用的数学教材。该教材提供了大量的数学问题和题解，涉及代数、几何、三角、数学分析等各个领域。本文主要介绍 RD Sharma 解决方案的第六章行列式练习 6.2 的第三个设置。

练习 6.2 |设置 3

本设置包含 12 道题目，主要涉及以下内容：

• 按行/列展开行列式
• 利用余因子展开行列式
• 求逆矩阵
• 求行列式的值

题目示例

以下是几道题目的示例：

问题 11

求行列式

$$ \begin{vmatrix} \dfrac{1}{x_1 + y_1} & 0 & 0 & \ldots & 0 \ 0 & \dfrac{1}{x_2 + y_2} & 0 & \ldots & 0 \ 0 & 0 & \dfrac{1}{x_3 + y_3} & \ldots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \ldots & \dfrac{1}{x_n + y_n} \ \end{vmatrix} $$

其中 $(x_i + y_i) \neq 0$，$i=1,2, \ldots n$。

问题 12

找到下面矩阵的逆矩阵。

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 1 & 0 & -1 \ 1 & -3 & 5 \ \end{bmatrix} $$

解答示例

以下是一些题目的解答示例：

问题 11

$$ \begin{aligned} &\begin{vmatrix} \dfrac{1}{x_1 + y_1} & 0 & 0 & \ldots & 0 \ 0 & \dfrac{1}{x_2 + y_2} & 0 & \ldots & 0 \ 0 & 0 & \dfrac{1}{x_3 + y_3} & \ldots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \ldots & \dfrac{1}{x_n + y_n} \ \end{vmatrix} \ &= \dfrac{1}{(x_1 + y_1) (x_2 + y_2) \cdots (x_n + y_n)} \end{aligned} $$

问题 12

$$ \begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 1 & 0 & -1 \ 1 & -3 & 5 \ \end{bmatrix}^{-1} &= \dfrac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \ C_{12} & C_{22} & C_{32} \ C_{13} & C_{23} & C_{33} \ \end{bmatrix} \ &= \dfrac{1}{-18} \begin{bmatrix} 14 & 6 & -8 \ 6 & 3 & -3 \ -8 & -3 & 5 \ \end{bmatrix} \ &= \begin{bmatrix} -\dfrac{7}{9} & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{4}{9} \ -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \ \dfrac{4}{9} & \dfrac{1}{6} & -\dfrac{5}{18} \ \end{bmatrix} \end{aligned} $$

总结

本文介绍了 RD Sharma 解决方案的第六章行列式练习 6.2 的第三个设置，包含了一些常见的行列式问题的解答。这些问题可以帮助学生深入理解行列式的一些性质和应用，为深入学习数学打下基础。