门 | GATE-CS-2006 | 问题18

本文是针对 GATE-CS-2006 中第18个问题的介绍和解答，主要涉及算法和程序设计的相关知识。该问题的具体描述如下：

有一把锁，其密码由 n 个数字组成。你可以使用以下函数 G 检查密码是否正确：

def G(guess):
    pass

其中，guess 是一个字符串类型参数，表示猜测的密码。函数返回一个数字类型值，表示密码是否正确，正确返回0，否则返回与正确密码不同的数字个数。

例如，假设密码是 "12345"，则 G("12345") 返回 0，而 G("12435") 返回 1。

你需要设计一个算法，通过调用函数 G 来猜出正确的密码。你可以假设函数 G 总是返回正确的结果。你需要维护一个尽可能小的集合 S，其中包含所有可能的密码。每次调用 G，你可以从集合中删除无法成为正确密码的所有可能，直到只剩下正确密码本身为止。

请编写代码实现上述算法，并回答以下问题：

1. 你的算法的时间复杂度是多少？
2. 你的算法的空间复杂度是多少？
3. 你的算法是否能够保证找到正确密码？如果不能，请给出反例或解释。

算法实现

下面是针对该问题的算法的实现，采用 Python 语言实现。首先定义函数来计算两个字符串中不同字符的个数：

def diff(a, b):
    return sum(1 for i, j in zip(a, b) if i != j)

接下来，我们可以采用类似二分查找的方式来进行搜索，每次尽可能选择能够排除集合中最多密码的猜测进行调用 G，以此来不断缩小集合 S。

from itertools import combinations

def guess_password(n):
    S = {''.join(p) for p in combinations('0123456789', n)}
    while len(S) > 1:
        guess = min(S, key=lambda x: max(diff(x, p) for p in S))
        result = G(guess)
        S = {p for p in S if G(p) == result}
    return next(iter(S))

在该算法中，我们首先初始化一个包含所有可能密码的集合 S。之后，我们在每一轮中都通过选取能够最大限度缩小集合 S 的猜测来调用函数 G。例如，如果我们在剩下的集合中选择的猜测为 "12345"，则 S 中最多能被排除的元素个数即为 以 "12345" 为中心半径为函数 G 返回值的圆包含的元素个数。

具体来说，我们采用了 max(diff(x, p) for p in S) 来计算以 x 为中心的圆的半径，然后通过 lambda x: max(diff(x, p) for p in S) 来获取能够最大限度缩小集合 S 的猜测。

最终，我们在集合 S 只剩下正确密码时返回该密码即可。

时间复杂度与空间复杂度

该算法的时间复杂度主要取决于集合中可能密码的数量。由于其中包含了从 0 到 9 共10个数字组成的字符串中任选 n 个字符，因此其时间复杂度为 O(10^n)。

在空间复杂度方面，我们需要维护一个尽可能小的集合 S。由于集合中必须包含所有可能的密码，因此其空间复杂度也为 O(10^n)。

正确性证明

该算法的正确性可以通过归纳法证明。假设初始集合中包含所有可能的密码，然后我们通过每一次调用 G 来排除不能成为正确密码的元素。由于函数 G 每次都会返回正确密码与猜测密码的不同位数，因此我们可以知道，每一次调用 G 都可以排除至少一个不正确的密码，即集合中不正确元素的个数一定会不断减小，最终只剩下正确密码。

因此，该算法保证一定可以找到正确密码。

总结

本文介绍了针对 GATE-CS-2006 中第18个问题的算法实现。该算法可以通过尽可能排除集合 S 中无法成为正确密码的元素来逐步缩小集合 S，以实现找到正确密码的目标。在算法正确性证明的基础上，该算法可以较为可靠地保证找到正确的结果。