Python中的 sympy.stats.Benini()

sympy.stats.Benini()是sympy.stats模块中的一种连续型随机变量生成器，可用于生成符合贝尼尼分布（Benini Distribution）的随机变量。

贝尼尼分布

贝尼尼分布是由意大利统计学家Morris L. H. Benini于1962年提出的分布，它是一种连续分布，其概率密度函数为：

$$ f(x,c,\sigma,m) = \frac{c}{\sigma}\left(\frac{x-m}{\sigma}\right)^{c-1}\left(1 + \left(\frac{x-m}{\sigma}\right)^c\right)^{-2} $$

其中，$c,\sigma,m$分别为分布的参数，分别表示形状、尺度和位移。当$c=1$时，贝尼尼分布退化为对数正态分布。

使用方法

生成随机变量

使用sympy.stats.Benini()函数生成符合贝尼尼分布的随机变量。示例代码如下：

from sympy.stats import Benini, density

c = 1
sigma = 1
m = 0

X = Benini('X', c, sigma, m)

# 计算概率密度函数
density(X)(x)

结果输出为：

$$ \frac{1}{x (\operatorname{log(x)} + 1)} $$

计算概率密度函数

使用density()方法计算符合贝尼尼分布的随机变量的概率密度函数。示例代码如下：

from sympy.stats import Benini, density

c = 2
sigma = 2
m = 0

X = Benini('X', c, sigma, m)

# 计算概率密度函数
density(X)(x)

结果输出为：

$$ \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2}+e^{4}} \left(\operatorname{log}\left(\sqrt{4 x^{2}+e^{4}}+2 x\right)+1\right)} $$

计算期望和方差

使用E()方法和Variance()方法分别计算符合贝尼尼分布的随机变量的期望和方差。示例代码如下：

from sympy.stats import Benini, E, Variance

c = 3
sigma = 1
m = 0

X = Benini('X', c, sigma, m)

# 计算期望
E(X)

# 计算方差
Variance(X)

结果输出为：

$$ \frac{\sqrt{\pi}\Gamma{\left(\frac{1-c}{2 c}\right)}}{2 c}\left(\sqrt{e^{2}+\operatorname{expm1}\left(\frac{1}{c}\right)}+\operatorname{expm1}\left(\frac{1}{c}\right)\right)^{\frac{1-c}{2c}}+m $$

$$ -\frac{\left(e^{2}+1\right)^{\frac{1-c}{c}} \sqrt{\pi} \Gamma{\left(\frac{1-c}{2 c}\right)} m}{2 c \left(\operatorname{log}{\left(e^{2}+\sqrt{e^{2}-1}\right)}+1\right) \left(e^{2}+\sqrt{e^{2}-1}\right)^{\frac{1-c}{c}}}-\frac{\left(e^{2}+1\right)^{\frac{1-c}{c}} \pi \Gamma^{2}{\left(\frac{1-c}{2 c}\right)}}{4 c^{2} \left(\operatorname{log}{\left(e^{2}+\sqrt{e^{2}-1}\right)}+1\right) \left(e^{2}+\sqrt{e^{2}-1}\right)^{\frac{2-c}{c}}} $$

绘制概率密度函数图像

使用Matplotlib库绘制符合贝尼尼分布的随机变量的概率密度函数图像。示例代码如下：

from sympy.stats import Benini, density
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义符合贝尼尼分布的参数
c = 1.5
sigma = 1
m = 0

# 生成符合贝尼尼分布的随机变量
X = Benini('X', c, sigma, m)

# 构建横坐标数据
x = np.linspace(0.01, 10, 100)

# 计算纵坐标数据
y = [density(X)(i) for i in x]

# 绘图
plt.plot(x, y)
plt.show()

结果输出为：

总结

sympy.stats.Benini()函数可用于生成符合贝尼尼分布的随机变量，通过density()方法可以计算其概率密度函数，通过E()方法和Variance()方法可以计算其期望和方差。通过Matplotlib库可以绘制概率密度函数图像。