RD Sharma解决方案-第12类-第28章 空间中的直线-练习28.4

这是RD Sharma解决方案中第12类-第28章空间中的直线的练习题28.4的解决方案。

题目描述

• 直线L1通过点P(4, -3, 1)且与平面x+2y-3z=4垂直。 直线L2过点Q(-2, 0, 1)且与直线L1垂直。 写出直线L2的方程。

解决方案

假设直线L1的方程为ax + by + cz + d = 0，并且它与平面x + 2y - 3z = 4垂直，那么它的法向量就是(1, 2, -3)。因此，有：

a + 2b - 3c = 0   ...(1)

此外，L1还通过点P(4, -3, 1)，因此有：

a(4) + b(-3) + c(1) + d = 0  ...(2)

将（1）中的a替换成2b - 3c，得到：

2b - c = 0    ...(3)

然后，将（3）带回到（1）中，得到：

b = k, 
c = 2k,
a = 3k   

其中，k为任意常数。

因此，L1的方程可以表示为：

3kx + ky + 2kz - 25k = 0

现在，我们只需要找到L2和Q的坐标。

因为L2过点Q(-2, 0, 1)且与直线L1垂直，因此L2的方向向量与L1的法向量垂直。因此，我们可以选择直线L1的方向向量(3k, k, 2k)中的任意两个分量，并将它们交换并改变一个符号得到L2的方向向量。例如，我们可以选择(1, -3k, k)并使其方向与L1的方向相反。因此，L2的方程可以表示为：

(x+2) / 1 = (y-0) / (-3k) = (z-1) / k

化简，得到：

x + 2 = -3ky
x + 2 = kz - k

接下来，我们可以通过联立L1和L2的方程，来求出k和L2的方程。

将L2的方程代入L1的方程中：

3k(x+2) + k(y-0) + 2k(z-1) - 25k = 0

化简得到：

2x + 6z - 25 = 0

因此，我们可以得出k = -2/3。

将k代入L2的方程中，我们得到：

(x+2) / 1 = (y-0) / 2 = (z-1) / (-2/3)

或者，

x + 2 = 3y
x + y - 4z + 4 = 0 

因此，直线L2的方程为x + 2 = 3y = 4z - 4。

结论

我们成功地计算出了直线L2的方程，为x + 2 = 3y = 4z - 4。