第 11 课 RD Sharma 解决方案 - 第 28 章 3D 坐标几何简介 - 练习 28.3

本次介绍的是 RD Sharma 的第 11 课解决方案中第 28 章的练习 28.3，主要是关于 3D 坐标几何的初步认识。

题目描述

已知三个点 $A(x_1, y_1, z_1)$、 $B(x_2, y_2, z_2)$ 和 $C(x_3, y_3, z_3)$，求出线段 $AB$ 和 $BC$ 的长度，并计算 $ cos \angle ABC$。

思路分析

本题需要用到三维空间中两点间距离的公式以及向量的点积公式。

设点 $A$ 和点 $B$ 的坐标分别为 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$，则两点距离的公式为：

$$d_{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$

又设向量 $\vec{AB}=<x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1>$ 和向量 $\vec{BC}=<x_3-x_2, y_3-y_2, z_3-z_2>$，则向量的点积公式为：

$$\vec{AB} \cdot \vec{BC}=|\vec{AB}| \times |\vec{BC}| \times cos \angle ABC$$

其中 $|\vec{AB}|$ 和 $|\vec{BC}|$ 分别表示向量的模长，可以用两点间距离公式计算。因此，我们可以先计算出 $AB$ 和 $BC$ 的长度，再代入公式计算 $ cos \angle ABC$。

代码实现

下面是 Python 代码的实现：

# 输入三个点的坐标
x1, y1, z1 = map(int, input("请输入点 A 的坐标：").split())
x2, y2, z2 = map(int, input("请输入点 B 的坐标：").split())
x3, y3, z3 = map(int, input("请输入点 C 的坐标：").split())

# 计算 AB 和 BC 的长度
d_AB = ((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2 + (z2 - z1)**2)**0.5
d_BC = ((x3 - x2)**2 + (y3 - y2)**2 + (z3 - z2)**2)**0.5

# 计算 cos(ABC) 的值
cos_ABC = ((x2 - x1)*(x3 - x2) + (y2 - y1)*(y3 - y2) + (z2 - z1)*(z3 - z2)) / (d_AB * d_BC)

# 输出结果
print("AB 的长度为：", d_AB)
print("BC 的长度为：", d_BC)
print("cos(ABC) 的值为：", cos_ABC)

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# 第 11 课 RD Sharma 解决方案 - 第 28 章 3D 坐标几何简介 - 练习 28.3

本次介绍的是 RD Sharma 的第 11 课解决方案中第 28 章的练习 28.3，主要是关于 3D 坐标几何的初步认识。

## 题目描述

已知三个点 $A(x_1, y_1, z_1)$、 $B(x_2, y_2, z_2)$ 和 $C(x_3, y_3, z_3)$，求出线段 $AB$ 和 $BC$ 的长度，并计算 $ cos \angle ABC$。

## 思路分析

本题需要用到三维空间中两点间距离的公式以及向量的点积公式。

- 设点 $A$ 和点 $B$ 的坐标分别为 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$，则两点距离的公式为：$d_{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$
- 又设向量 $\vec{AB}=<x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1>$ 和向量 $\vec{BC}=<x_3-x_2, y_3-y_2, z_3-z_2>$，则向量的点积公式为：$\vec{AB} \cdot \vec{BC}=|\vec{AB}| \times |\vec{BC}| \times cos \angle ABC$
- 其中 $|\vec{AB}|$ 和 $|\vec{BC}|$ 分别表示向量的模长，可以用两点间距离公式计算。因此，我们可以先计算出 $AB$ 和 $BC$ 的长度，再代入公式计算 $ cos \angle ABC$。

## 代码实现

下面是 Python 代码的实现：

```python
# 输入三个点的坐标
x1, y1, z1 = map(int, input("请输入点 A 的坐标：").split())
x2, y2, z2 = map(int, input("请输入点 B 的坐标：").split())
x3, y3, z3 = map(int, input("请输入点 C 的坐标：").split())

# 计算 AB 和 BC 的长度
d_AB = ((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2 + (z2 - z1)**2)**0.5
d_BC = ((x3 - x2)**2 + (y3 - y2)**2 + (z3 - z2)**2)**0.5

# 计算 cos(ABC) 的值
cos_ABC = ((x2 - x1)*(x3 - x2) + (y2 - y1)*(y3 - y2) + (z2 - z1)*(z3 - z2)) / (d_AB * d_BC)

# 输出结果
print("AB 的长度为：", d_AB)
print("BC 的长度为：", d_BC)
print("cos(ABC) 的值为：", cos_ABC)

注意，上述代码中的三角函数取值为弧度制。如果需要换算成角度制，可以使用 Python 中的 math.degrees() 函数。