Python中的 sympy.stats.BetaNoncentral()

sympy.stats.BetaNoncentral() 是一个用于创建非中心 Beta 分布的随机变量的类，它基于Sympy库。

Beta 分布

Beta 分布是一个随机变量的连续概率分布，它有两个参数 $\alpha$ 和 $\beta$，通常表示为 $Beta(x;\alpha,\beta)$。Beta 分布常被用来描述在两个方面的测量之间的比例（如成功和失败或喜欢和不喜欢等）。

Beta 分布的概率密度函数（PDF）为：

$$ f(x;\alpha,\beta)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} $$

其中 $B(\alpha,\beta)$ 是 Beta 函数，它定义为：

$$ B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\mathrm{d}t $$

非中心 Beta 分布

非中心 Beta 分布是一种扩展的 Beta 分布，它添加了一个非中心参数 $\lambda$，通常表示为 $NBeta(x;\alpha,\beta,\lambda)$。非中心 Beta 分布在许多应用程序中都是很有用的，比如在贝叶斯计算和风险分析中。

非中心 Beta 分布的 PDF 为：

$$ f(x;\alpha,\beta,\lambda)=\frac{1}{I_x(\alpha,\beta,\lambda)}e^{-\lambda x}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{\frac{\alpha-1}{2}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Gamma(\alpha+\beta+k)}{k!\Gamma(\alpha+k)}\left(\frac{\lambda(1-x)}{2}\right)^k $$

其中 $I_x(\alpha,\beta,\lambda)$ 是修正的贝塔函数，定义为：

$$ I_x(\alpha,\beta,\lambda)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Gamma(\alpha+\beta+k)}{k!\Gamma(\beta+k)}\left(\frac{\lambda}{2}\right)^k(1-x)^{\beta+k} $$

非中心 Beta 分布的期望、方差和矩等可以使用 sympy.stats 库中的函数来计算。

使用 sympy.stats.BetaNoncentral() 创建分布

sympy.stats.BetaNoncentral 类是一个表示非中心 Beta 分布的符号对象，它可以用于创建随机变量。

以下是 sympy.stats.BetaNoncentral() 方法的语法：

sympy.stats.BetaNoncentral('x', alpha, beta, lambda_)

其中参数说明如下：

• x：符号对象。
• alpha：Beta 分布的形状参数 $\alpha$。
• beta：Beta 分布的形状参数 $\beta$。
• lambda_：非中心参数 $\lambda$。

以下是一个例子：

import sympy.stats as sps
from sympy import symbols

x = symbols('x')
alpha = 2
beta = 2
lamda = 1

X = sps.BetaNoncentral('X', alpha, beta, lamda)

这将创建一个名为 X 的非中心 Beta 分布符号对象。

从非中心 Beta 分布中生成随机样本

使用 sps.sample 函数可以从分布中生成随机样本。以下是语法：

sps.sample(X)

其中 X 是 sympy.stats.BetaNoncentral() 类的实例。

下面是一个生成20个样本的例子：

import sympy.stats as sps
from sympy import symbols

x = symbols('x')
alpha = 1.5
beta = 2.5
lamda = 2

X = sps.BetaNoncentral('X', alpha, beta, lamda)

samples = sps.sample(X, size=20)

这将生成一个包含20个样本的数组。

总结

sympy.stats.BetaNoncentral() 是一个用于创建非中心 Beta 分布的随机变量的类，它基于 Sympy 库。该类的对象可以用于从非中心 Beta 分布中生成随机样本。