算法测验| SP竞赛1 |问题10

这是 SP竞赛1 中的第10个问题。它要求参赛者设计一个算法来解决给定的问题，并输出符合要求的解。

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的正整数序列 $a_i (1 \le i \le n)$，和一个正整数 $k$。请设计一个算法，找出在该序列中相邻的 $k$ 个数相加之和最大的连续子序列。要求算法时间复杂度在 $O(n)$ 以内。

解题思路

这个问题是一个典型的最大子段和问题，可以使用 Kadane 算法来解决。Kadane 算法通过动态规划的方法来求解最大子段和。具体思路是维护两个变量：$max_so_far$ 和 $max_ending_here$，分别表示到目前为止的最大子段和和当前子段和的最大值。当一个新数 $a_i$ 加入序列时，更新 $max_ending_here$ 为 $\max { a_i, max_ending_here + a_i }$，然后比较 $max_ending_here$ 和 $max_so_far$，把较大的值赋给 $max_so_far$。最终得到的 $max_so_far$ 就是最大子段和。

为了解决相邻的 $k$ 个数相加之和的问题，我们可以通过先求出第 $1$ ~ $k$ 个数的和 $s$，然后不断扫描整个序列，每次将上一个 $s$ 中第一个数去掉，加入下一个数，更新 $s$。这样就可以得到所有相邻 $k$ 个数的和，然后再用上述 Kadane 算法求解最大子段和即可。

代码实现

python代码：

def max_k_sum_subsequence(a, k):
    s = sum(a[:k])
    max_so_far = s
    max_ending_here = s
    for i in range(k, len(a)):
        s += a[i] - a[i-k]
        max_ending_here = max(a[i], max_ending_here + a[i]) - a[i-k]
        max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
    return max_so_far

Java代码：

public static int max_k_sum_subsequence(int[] a, int k) {
    int s = 0, max_so_far = 0, max_ending_here = 0;
    for (int i = 0; i < k; i++)
        s += a[i];
    max_so_far = s;
    max_ending_here = s;
    for (int i = k; i < a.length; i++) {
        s += a[i] - a[i-k];
        max_ending_here = Math.max(a[i], max_ending_here + a[i]) - a[i-k];
        max_so_far = Math.max(max_so_far, max_ending_here);
    }
    return max_so_far;
}

根据语言的不同，变量的命名和语法细节可能会有所不同，但算法的核心思想是相同的。